40.Линейные фифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.Нахождение общего решения однородного уравнения.

Линейное диффернециальное уравнение второго опрядка с постоянными коэффициентами и меет вид : y``+py`+qy=r(x).

Если r(x)=0,то уравнение y``+py`+qy=0 называется однородным; в противном случае при r (x)не равное 0 уравнение y``+py`+qy=r(x) называется неоднородным.

41. Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частного решения неоднородного уравнения при специальном виде превой части.

…

42.Числовые ряды. Сумма ряда. Необходимые условия сходимости ряда. Свойства рядов.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1,u2,…un,… cоединенных законом сложения:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частных сумм: предел ,при n->∞Sn=S

Число S называется суммой ряда.

Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится,то предел его общего члена un при n->∞ равен 0 .

Свойства рядов.

1.Если ряд u1+u2+…+un+… сходится и имеет сумму S,то ряд лямдаu1+лямдаu2+…+лямдаun+… так же сходится и имеет сумму лямдаS.

2.Если ряды u1+u2+…+un+… и v1+v2+…v2+… сходятся и их суммы соответственно равны S1и S2,то и ряд (u1+v1)+(u2+v2)+…+(un+vn) так же сходится,и его сумма = S1+S2

3. Если ряд сходится ,то сходится и ряд,полученный из данного путем отбрасывания конечного числа членов

4.Для того чтобы ряд сходился,необходимо и достаточно ,чтобы при n->∞ остаток ряда стремился,чтобы lim при n->∞ rn=0/

43.Теорема сравнения. Признак сходимости Даламбера,Коши.

Теорема сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами 1и 2,причем члены первого ряда не превосходят членов второго,тоесть при любом n an≤bn, тогда

а)Если сходится ряд 2,то схожится и ряд 1 .

б)Если расходится ряд 1,то расходится и ряд 2 .

Признак сходимости Даламбера.

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену .Тогда если D<1,то ряд сходится ,если D>1,то ряд расходится ,если D=1,то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Признак сходимости Коши.

Пусть дан ряд ,члены которого положительны и не возврастаю, т е .u1≥u2≥….≥un≥…,а функция f(x),определенная при х ≥1 ,неприрывная и невозврастающяя .

44.Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость .Признак Лейбница.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд ,в котором члены попеременно то положительны,то отрицательны :u1-u2+u3-u4+…+(-1)в степени n-1un+…,где un>0 .

Признак Лейбница.

Если члены законочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1>u2>…>un>…u предел его общего члена при n->∞ равен 0,т.е. lim при n->∞un=0,то ряд сходится,а его сумма не превосходит первого члена :S≤u1.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся ,если сходится как сам ряд,так и ряд,составленный из абсолютных величин его члена.

Ряд называется условно сходящимся ,если сам ряд сходится,а ряд,составленный из абсолютных величин его членов,сходится.

45.Функциональные ряды .Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости.

Степенные ряды.

Совокупность тех значений х,при которых степенной ряд с0+с1х+с2 в степени 2+…+сnx в степени n+…

Радиус, интервал и область сходимости.

R-радиус сходимости.

Интервал(-R;R) -интервал сходимости степенного ряда.

46.Разложние элементарных функций в ряд Тейлора. Использование рядов для приближенных вычислений.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

50.Понятие о численных методах.Виды погрешности.Численные методы решения дифференциальных уравнений.

-графические

- аналитические

-численные методы

Различают 2 вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

51. Понятие о численных методах решения экстремальных задач.

…

52.Основные понятия графов.Ориентированные и неоринтированные графы.Гамильтоновы графы.Эйлеровы графы.

Граф G(V,E) - комбинаторный объект, состоящий из двух конечных множеств: V - называемого множеством вершин и множества пар элементов из V, т.е. Е VxV, называемого множеством ребер, если пары неупорядочены, и множеством дуг, если пары упорядочены. . В первом случае граф G(V,E) называется неориентированным, во втором ориентированным. Если е = (v₁,v₂₎

Эйлеровы графы

Эйлеровым путем графа G(V,E) называется путь e₁,e₂, ..., e_t такой, что каждое ребро появляется ровно 1 раз, т.е. t = | Е |. Граф G(V,E) называется эйлеровым, если он имеет замкнутый эйлеровый путь, и полуэйлеровым, если существует эйлеров путь, не являющийся замкнутым).

Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина G имеет четную степень.

Гамильтоновы графы.

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v1,…, vp графа G добавить вершины u1, …, up и множество ребер {(vi, ui)} {(ui, vi+1)}.