Интегрирование некоторых иррациональностей

Основным методом решения интегралов от иррациональных выражений является метод замены переменной.

Цель замены – преобразовать данное иррациональное выражение к рациональной дроби.

1. сводится к ,

предварительно необходимо выделить полный квадрат под знаком корня, сделать замену и проинтегрировать по таблице интегралов, 10 и 12.

Пример 29.

.

2. .

1. Сделать в числителе производную подкоренного выражения.

2. Разбить на два интеграла, один из которых степенной, а другой вида (1).

Пример 30.

.

3. подстановка ,

– наименьший общий знаменатель дробей и .

Пример 31.

Здесь роль играет , ; ; , наименьший общий знаменатель этих дробей , следовательно, подстановка , вычислим

.

4. , ;

, ;

, .

5. – дифференциальный бином интегрируется в трех случаях:

1) – целое, – интегрируется непосредственно,

– подстановка , где – общий знаменатель дробей

и ;

2) – целое (, , ) подстановка , где – знаменатель

дроби ;

3) – целое (, ,) подстановка .

Пример 32.

.

Интегрирование тригонометрических выражений

1. решается универсальной подстановкой , , ; .

Пример 33.

.

В некоторых случаях полезнее использовать подстановки, которые дают лучший результат, чем при использовании универсальной подстановки.

2. Если в подынтегральном выражении при замене на и на функция не меняет своего знака, т. е. если

,

то применяют подстановку .

Пример 34.

.

3. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример 35.

.

4. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример 36. .

5. ; при – четном, ;

; при – нечетном по правилу 3 или 4.

Пример 37.

.

Пример38. .

Пример 39.

.

6. ,

,

.

Пример40

.

Определенный и несобственный интегралы, их вычисление

Если 1) и конечны;

2) непрерывна на и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

. (21)

Пример 41. .

Интегралы а) ; б) ; в)

относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в)) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (21), при этом считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.

Пример 42. .

Пример 43.

.

Пример 44. .

Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 52, 53), в противном случае интеграл расходится (пример 51).

Те интегралы , для которых не выполняется условие (2), а условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода. имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.

Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.

Пример 45. ; ; эта функция имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .

, интеграл сходится.

Пример 46. ; имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .

, интеграл расходится.

Пример 47. ; имеет бесконечный разрыв в точке , которая принадлежит . В этом случае данный интеграл разбиваем на два интеграла точкой разрыва:

, интеграл сходится.