- •Производная
- •1.1. Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •1.2. Дифференцирование неявных функций
- •1.3. Логарифмическое дифференцирование
- •1.4. Производные высших порядков
- •1.5. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •1.6. Уравнение касательной к нормали
- •2. Исследование поведения функций
- •2.1. Возрастание и убывание функции
- •2.2. Максимум и минимум функций
- •2.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.4. Асимптоты
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •4. Правило лопиталя
- •Задания к контрольной работе № 2
- •Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •Методы интегрирования
- •1. Непосредственное интегрирование
- •2. Метод замены переменной (подстановки)
- •3. Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •3. Разложение правильной дроби
- •4. Нахождение коэффициентов
- •5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •Интегрирование некоторых иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических выражений
- •Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи к контрольной работе № 3
3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с понятием экстремума функции.
Определение. Максимумом или минимумом функции называются такие ее значения , для которых имеют место неравенства (для случая максимума) и (для случая минимума) при любых значениях , положительных и отрицательных.
Таким образом, в точках максимума (минимума) значение больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции.
В математическом анализе понятия максимума и минимума объединяются одним словом «экстремум».
Сформулируем необходимое условие экстремума.
Если функция имеет в точке максимум и минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. .
Корни уравнения называются критическими точками функции .
Для определения экстремума в критических точках используют достаточные условия. Подробно с достаточными признаками экстремума можно ознакомиться в учебнике [1, с. 159 – 160]. Мы сформулируем правила исследования на экстремум функции.
-
Находим область определения функции (ООФ).
-
Находим критические точки. Для этого первую производную приравниваем к нулю () или определяем, в каких точках производная равна или не существует.
-
Проверяем, принадлежат ли критические точки ООФ. Если нет, то их отбрасываем.
-
Проверяем знак левее и правее критических точек. Если знак меняется с плюса на минус, то в точке максимум; с минуса на плюс, то эта точка минимума.
Пример 14. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. 1) ООФ – все действительные числа ().
2) Находим критические точки:
,
, , , .
3) ООФ, ООФ, ООФ.
4) , если ; , если ;
, если ; , если ;
, если ; , если .
Значит, в точке данная функция достигает минимума; ; в точке экстремума нет; в точке – максимум; .
Сформулируем правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :
-
Находим ООФ.
-
Проверяем, принадлежат ли ООФ.
-
Находим критические точки.
-
Проверяем, принадлежат ли они .
-
Находим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку , и на концах , , .
-
Выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. 1) ООФ – все действительные числа;
2) ООФ;
3) Находим критические точки: ; ;
; ;
4) , ;
5) ; ; .
Ответ: ; .
Пример 16. Тело двигалось со скоростью . Найти наибольшую и наименьшую скорость в течение 5 секунд движения.
Решение. Находим производную и критические точки . Значит, внутри отрезка имеется только одна критическая точка . При функция имеет максимум, равный 129, который и дает наибольшее значение скорости: см/с. Вычислим при и при . Получим соответственно 1 и 116. Следовательно, наименьшее значение скорости см/с; такую скорость тело имеет в начальный момент .
4. Правило лопиталя
При вычислении предела отношения может оказаться, что при числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами. Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с неопределенностями вида или . Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу Лопиталя.
Правило Лопиталя. Пусть заданы две функции и и выполняются условия:
-
и или
и ;
-
они имеют первые производные в окрестности точки (за возможным исключением самой точки );
-
и в окрестности точки ;
-
существует , тогда существует и имеет место равенство , если этот предел существует конечный или бесконечный.
Сущность этого правила состоит в том, что в случае «неопределенностей» вида или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще.
В случае, когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или , снова применяют правило Лопиталя.
Пример 17. Найти .
Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» вида . Применяя правило Лопиталя, получим:
.
Пример 18. Найти .
Решение. Здесь имеет место неопределенность . Применяем правило Лопиталя:
.
В этом примере правило Лопиталя применили два раза.
Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только «неопределенностей» вида и . Все остальные виды «неопределенностей» (, , , , ) сначала приводятся к «неопределенностям» или с помощью различных преобразований, а затем применяется правило Лопиталя.
Раскрытие «неопределенности» :
Если и , то для определения предела надо преобразовать разность к виду
,
тогда
и раскрываем по правилу Лопиталя.
Пример 19. Найти .
Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» . Выражение, стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем:
.
Раскрытие «неопределенности» .
Пусть , ;
или ,
тогда
,
то есть «неопределенность» вида может быть сведена к «неопределенности» вида или .
Пример 20. Найти .
Решение. При , а – величина бесконечно малая, поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида .
.
«Неопределенности» вида ; ; .
«Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида , которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью тождества.
; (),
тогда и все сводится к определению предела .
Пример 21. Найти .
Решение. ; , поэтому
.
Найдем
.
Окончательно получаем .