1.5. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть даны две функции , (1)

где назовем параметром. Причем имеет обратную функцию . Тогда из (1) , т. е. является функцией от . Задание функции через называется параметрическим.

Если функции , имеют производные и , то функция также имеет производную, вычисляемую по формуле

. (2)

Вторая производная вычисляется по формуле

. (3)

Пример 7. Функция задана параметрически: , , . Найти и .

Решение. Найдем

.

Тогда по формуле (2) .

Для вычисления найдем .

.

Подставим в формулу (3):

.

1.6. Уравнение касательной к нормали

Касательной к линии в точке (рис. 1) называется прямая , с которой стремится совпасть секущая , когда точка , оставаясь на , стремится - будь то справа или слева.

Если линия есть график функции , то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в соответствующей точке.

Если график не имеет касательной, функция не имеет производной и наоборот.

Рис. 1

Эти видно из рис. 1. Угловой коэффициент секущей равен . Если стремится к , то имеет пределом угловой коэффициент касательной. Значит, , т. е. .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом: , значит уравнение касательной к кривой в точке , где .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной. Условие перпендикулярности двух прямых: , значит уравнение нормали будет иметь вид: .

Пример 8. Составите уравнение касательной и нормали к кривой в точке . Сделать чертеж.

Решение.

, .

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: ; .

Сделаем чертеж. – парабола, ветви направлены вниз. Вершина , , .

Точки пересечения с осью :

,

0 1 0 1

1 -1 3,5 4

2. Исследование поведения функций

Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа.

Установим общие приемы исследования поведения функции.

2.1. Возрастание и убывание функции

Дадим некоторые определения.

Определение. Если функция такова, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция.

Пример 9. Функция при есть возрастающая функция, так как большему значению соответствует большее значение .

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке не отрицательна, то есть .

Теорема 2. Если функция непрерывна на и дифференцируема в промежутке , причем для , то эта функция возрастает на отрезке .

Геометрически: если на функция возрастает, то касательная к кривой в каждой точке на этом отрезке образует с осью угол : . Если убывает на отрезке , то угол наклона касательной – тупой.