Задания к контрольной работе № 2
I.
Найти производные
данных функций:
1.
а)
б)
в)
г)
д)
2.
а)
б)
в)
г)
д)
3.
а)
б)
в)
г)
д)
4.
а)
б)
в)
г)
д)
5.
а)
б)
в)
г)
д)
6.
а)
б)
в)
г)
д)
7.
а)
б)
в)
г)
д)
8.
а)
б)
в)
г)
д)
9.
а)
б)
в)
г)
д)
10.
а)
б)
в)
г)
д)
II.
Найти
и
:
11.
а)
б)
; 
12.
а)
б)
; 
13.
а)
б)
; 
14.
а)
б)
; 
15.
а)
б)
; 
16.
а)
б)
; 
17.
а)
б)
; 
18.
а)
б)
; 
19.
а)
б)
; 
20.
а)
б)
; 
III.
Найти наибольшее и наименьшее значения
на отрезке
:
21.
26.
22.
27.
23.
28.
24.
29.
25.
30.
IV.
Исследовать методами дифференциального
исчисления функции
;
используя результаты исследования,
построить ее график:
31.
а)
36.
а)
32.
а)
37.
а)
33.
а)
38.
а)
34.
а)
39.
а)
35.
а)
40.
а)
V.
Составить уравнения касательной и
нормали к кривой
в точке
.
Сделать чертеж.
41.
, 
46.
, 
42.
, 
47.
, 
43.
, 
48.
, 
44.
, 
49.
, 
45.
, 
50.
, 
VI. Найти пределы функций по правилу Лопиталя:
51.
а)
б)
52.
а)
б)
53.
а)
б)
54.
а)
б)
55.
а)
б)
56.
а)
б)
57.
а)
б)
58.
а)
б)
59.
а)
б)
60.
а)
б)
Интегрирование
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение
1. Функция
называется первообразной для
,
если
(15)
или
(16)
Пример
1.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Пример
2.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Всякая
непрерывная функция
имеет бесчисленное первообразная,
которое отличаются друг друга на
постоянное число.
Так
в 11-м примере для
первообразной будут, кроме
,
,
,
,
и другие. Все они удовлетворяют условию
(15) и (16). Вообще в общем виде можно записать
первообразную в виде
,
где
– произвольная постоянная. Действительно,
или
.
Определение
2. Общее
выражение
совокупности всех первообразных для
функции
называется неопределенным интегралом
от этой функции и обозначается:
.
(17)
При
этом
,
где
– подынтегральное
выражение,
– подынтегральная
функция.
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.
Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15) соответствуют формула интегрирования (17).
Пример
3.
,
где
– const.
Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
1.
(
,
– const,
)
2.
(для
любого
)
2.1.
2.2.
3.
4.
(
,
,
)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(
)
11.
(
)
12.
13.
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
-
-
,
в частности,
, 
-
,
где
-
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
Методы интегрирования
Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.
1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример
4.
.
(Использованы
свойства 3, 4; табличный интеграл 2,
).
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
.
Пример
5.
.
(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример
6.
.
(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).