Геометрические приложения определенного интеграла
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.
В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.
Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.
Пример
48. Вычислить
площадь, ограниченную параболой
и прямыми
и
.
Решение.
Выполним чертеж. Графиком
является парабола, ветви которой
направлены вниз (знак “-“ перед
)
и приподняты на 2 единицы (рис. 5). Искомая
площадь симметрична относительно оси
,
следовательно, можно вычислить половину
площади и удвоить результат, т.е.
.
y
2
1
x
Рис. 5
Для
вычисления пределов интегрирования
решим совместное уравнение параболы и
прямой
:
,
согласно формуле (1г), табл. получим:
; 
(кв. ед.).
Пример 49. Вычислить площадь, ограниченную линией
,
.
Решение.
В данной задаче чертеж выполнять
необязательно, т. к. задано изменение
параметра
.
Уравнение линии рассматривается в
декартовых координатах, но имеет
параметрический вид (в). Воспользуемся
формулой (1в) табл.
.
Задачи к контрольной работе № 3
-
Найти производную функции
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
-
Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
1.
а)
б)
в)
г)
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
б)
в)
г)
4.
а)
б)
в)
г)
5.
а)
б)
в)
г)
6.
а)
б)
в)
г)
7.
а)
б)
в)
б)
8.
а)
б)
в)
г)
9.
а)
б)
в)
г)
10.
а)
б)
в)
г)
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
1.
; 
6.
; 
2.
; 
7.
; 
3.
; 
8.
; 
4.
; 
9.
; 
5.
; 
10.
; 
; 