23. Дифференциальные уравнения обмоток ад в осях u-V. Выражения вращающего момента

Для вывода дифференциальные уравнения обмоток АД в осях u-v общих для статора и ротора в качестве исходной возьмем систему уравнений (21.4) в раздельных осях α-β и d-q. К уравнениям статора в осях α-β применим преобразования (22.4), а к уравнениям ротора в осях d-q – преобразования (22.7).

Уравнения статора согласно (21.4)

(23.1)

а формулы преобразования координат (Ψ, u и i) согласно (22.4)

(23.2)

Подставляем (23.2) в (23.1) и преобразуем

(23.3)

Далее используем известный из курса математики факт, что если при произвольном значении φ_К выражение то оба коэффициента А и В равны нулю. Выражения (23.3) имеют как раз такой вид и, поэтому,

(23.4)

Аналогичные преобразования можно выполнить для уравнений ротора. В итоге будет получена система дифференциальных уравнений АД в осях u-v

(23.5)

Каждое из уравнений содержит в правой части по 3 слагаемых:

- слагаемое вида рΨ является э.д.с., индуктируемой обмотками, которые соосны с рассматриваемой обмоткой;

- слагаемое вида ωΨ является э.д.с. вращения, индуктируемой обмотками, которые перпендикулярны к рассматриваемой обмотке;

- слагаемое вида Ri является падением напряжения на активном сопротивлении обмотки.

В систему (23.5) входят 8 переменных-функций: 4 тока и 4 потокосцепления. Для ее решения и моделирования по ней необходимо учитывать также определения потокосцеплений (22.1). Подставив (22.1) в (23.5), получим систему уравнений АД, содержащую только токи,

(23.6)

Вращающий момент АД, приложенный к ротору, является результатом взаимодействия токов i_2v и i_2u ротора с потокосцеплениями статора Ψ_1u и Ψ_1v (рис.23.1). Направления моментов М₁ и М₂ определено по правилу левой руки, а их величина пропорциональна произведению потокосцепления и тока. Если за положительный момент принять момент, вращающий ротор против часовой стрелки, то результирующий момент согласно рис.23.1б,в, будет пропорционален Ψ_1v·i_2u - Ψ_1u·i_2v:

M=M₂ - M₁ ~ (Ψ_1vi_2u- Ψ_1ui_2v) (23.7)

Приведем несколько эквивалентных формул вращающего момента:

или (23.8)

или

24. Уравнения и структурная схема ад в осях α-β, общих для статора и ротора. Расчеты токов обмоток

Уравнения АД в осях α-β, общих для статора и ротора, получаются из системы (23.7) с подстановкой в неё значения частоты вращения ω_К=0 осей координат α-β и заменой индексов α←u и β←v:

(24.1)

Уравнения цепи статора в осях α-β имеют естественный вид, совпадающий с уравнением статора системы (21.4), а уравнения цепи ротора входит частота ω_ЭЛ и его вид отличается от уравнений ротора в осях d-q (21.4).

Преобразуем систему (24.1) к виду

(24.2)

Для АД с короткозамкнутым ротором нужно принять u_2α=0 и u_2β=0.

Выражение вращающего момента АД берем согласно (23.8) вида

(24.3)

Уравнение механики и связь между ω_ЭЛ и ω имеют вид

(24.4)

По (24.2), (24.3) и (24.4) построена на рис.24.1 структурная схема. Структурная схема может быть смоделирована на операционных усилителях и аналоговых перемножителях.

Из системы уравнений (24.1) или из аналоговой модели при известных входных сигналах-аргументах u_1α, u_1β, u_2α, u_2β и М_С могут быть найдены все токи i_1α, i_1β, i_2α, i_2β, вращающий момент М и частота вращения ω АД. Напряжения u_1α, u_1β, u_2α и u_2β изменяются по гармоническому закону с частотой сети ω₁, поэтому с частотой сети ω₁ изменяются и токи i_1α, i_1β, i_2α и i_2β. Токи i_1α и i_1β являются реальными токами двухфазной обмотки статора в осях α-β, а токи i_2α и i_2β являются фиктивными токами двухфазной обмотки ротора в осях α-β, так как физическими осями ротора являются оси d-q и, соответственно, реальными токами двухфазного ротора являются токи i_2d и i_2q. Токи i_2α и i_2β можно пересчитать в токи i_2d и i_2q по формулам координатных преобразований (22.7):

(24.5)

Пусть расчетом по системе (24.1) или моделированием по схеме рис.24.1 определены составляющие i_2α=I_2mcos(ω₁t+φ₁₀) и i_2β= I_2msin(ω₁t+φ₁₀) установившегося тока ротора. Частота вращения ротора равна ω_ЭЛ=(1-s)ω₁, а его положение в пространстве осей α-β будет следующим φ_ЭЛ=(1-s)ω₁t+φ_ЭЛ0.

С использованием формул (24.5) рассчитаем законы изменения токов i_2d и i_2q:

(24.6)

(24.7)

Составляющие i_2d и i_2q тока ротора I₂ изменяются с частотой скольжения sω₁, что соответствует действительности и доказывает правильность расчетов этих токов.