4. Дисперсия

Обратимся теперь к рассмотрению обеих скоростей волн — фазовой и групповой — и сравним их между собой. Из определения фазовой скорости (7.19) следует, что

скоростью волн. Для того, чтобы ее отыскать, напишем условие постоянства фазы волны:

Тогда групповая скорость (см. (7.20))

откуда фазовая скорость

Найдем теперь отдельно скорость

перемещения определенной амплитуды волны Очевидно, что эта скорость совпадает со скоростью перемещения группы в целом; она называется поэтому групповой скоростью. Для отыскания ее пишем, по аналогии с предыдущим, условие постоянства амплитуды:

Если фазовая скорость v, образующих пакет гармонических волн, не зависит от к (или X), то говорят, что среда, в которой распространяется волна, не обладает дисперсией. В этом случае

Отсюда находим

и будем называть групповой скоростью:

Мы видим, таким образом, что обе эти скорости: фазовая и групповая, выражаются различными формулами. Чтобы разобраться в соотношении между ними, нужно рассмотреть условия распространения волн в различных средах.

Можно показать, что путем суперпозиции плоских волн можно осуществить волновой процесс, в котором амплитуда отлична от нуля только в небольшой части пространства Δх, а в остальном пространстве равна нулю. Для этого нужно, чтобы волновые числа плоских волн лежали в некотором интервале Δк, причем

Соотношение (7.21), как мы узнаем позже, приводит к знаменитым соотношениям неопределенностей Гейзенберга в квантовой механике.

При наличии же дисперсии групповая скорость не совпадает с фазовой, а именно, в зависимости от знака производной dv/dk групповая скорость

говорят, что среда обладает нормальной дисперсией, а во втором — аномальной. В оптике осуществляются оба эти случая. Так, в вакууме

Возникает вопрос: какая же из этих скоростей измеряется на опыте при определении, например, скорости света. Анализ различных методов измерения скорости света показывает, что ни один из них не дает возможности определить фазовую скорость, но все они дают групповую скорость.

Из сказанного следует, что фазовая скорость в точном соответствии со своим названием дает лишь скорость перемещения определенной фазы и, как показывает более строгий анализ, совершенно не связана, например, со скоростью движения фронта ограниченного в пространстве пакета волн (сигнала) или со скоростью движения энергии волны, которые определяются как раз групповой скоростью.

Именно поэтому возникновение фазовой скорости, большей скорости света в пустоте с, ни в коем случае не противоречит утверждению теории относительности (см. следующую лекцию) о том, что скорость света в пустоте есть предельная скорость.

В частности, в оптике доказывается, что скорость фронта волны при любых условиях равна с, т.е. скорости света в пустоте.

33

Лекция 8. КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО)

Постулаты СТО; преобразования Лоренца; следствия из преобразований Лоренца.