Xoy, совпадает по форме с уравнением вращательного движения тела вокруг закрепленной оси (3.9):

Последнее утверждение (его можно строго доказать!) выглядит довольно странным, так как уравнение (3.9) было написано относительно ИСО, система же отсчета (ось OZo), в которой происходит вращение тела, не является инерциальной, так как центр масс тела движется с ускорением а₀. Тем не менее это так, и связан

этот факт именно с тем, что мы выбрали в качестве точки О при рассмотрении поступательного движения центр масс тела. При решении конкретных задач уравнения (3.12) и (3.13) следует еще дополнить кинематическими

Для этого воспользуемся условием отсутствия проскальзывания цилиндра. Если нет проскальзывания, то точка А (см. рис.3.7), находящаяся на поверхности цилиндра и соприкасающаяся с наклонной плоскостью, в любой момент времени неподвижна в системе XOY. С другой стороны, эта точка движется

В качестве примера рассмотрим движение сплошного цилиндра радиусом R и массой М, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом (рис.3.7). На цилиндр действуют три

силы: сила тяжести Мд, реакции опоры N и сила

трения покоя ?. Уравнение поступательного движения в проекциях на оси ОХ и OY имеет вид:

Подставляя (3.16) в (3.15) и исключая f с помощью (3.14), окончательно получим

6. Закон сохранения момента импульса

В заключение отметим, что если тело вращается вокруг закрепленной в пространстве оси, и на него не действуют внешние силы, то из

Уравнение вращательного движения

относительно оси OZq (направленной от нас) выглядит следующим образом:

цилиндра относительно оси OZq и R (радиус

цилиндра) - плечо силы f . Так как силы тяжести и реакции опоры проходят через ось OZq, их

подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т.е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и момент инерции) меняется, то при свободном вращении

17

Лекция 4. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Работа постоянной и переменной силы; теорема о кинетической энергии; потенциальные силы; потенциальная энергия; закон сохранения энергии.

1. Работа постоянной и переменной силы

Из школьного курса физики мы знаем, что при движении частицы по прямолинейной траектории постоянная по величине и направлению сила

f совершает над частицей работу

где f — модуль силы, As — отрезок прямолинейного пути и а — угол между направлениями силы и перемещения. Выражение (4.1) можно записать в виде

Интеграл в правой части (4.3) называется криволинейным интегралом 1-го рода. Из (4.3) следует, что при движении частицы из точки 2 в точку 1 по той же самой траектории работа силы

f :

Вспомним теперь, что ds = |dr|, где dr — вектор бесконечно малого перемещения. Тогда

где f_s — проекция силы на перемещение. Из определения работы видно, что последняя может быть как положительной, когда f_s>0, так и отрицательной, когда f_s<0, и равной нулю, когда сила перпендикулярна перемещению.

Спрашивается, как найти работу силы f , которая в разных точках траектории движения различна по величине и направлению (говорят, что частица движется в неоднородном силовом

поле f(x,y,z))_r а сама траектория криволинейна (см. рис.4.1).

Поступают следующим образом. Всю траекторию от начальной точки 1 до конечной 2 разбивают на бесконечно малые участки ds, которые в силу своей бесконечной малости можно считать прямолинейными. Опять же в силу того, что путь ds бесконечно малый, можно считать, что

сила f остается постоянной как по величине, так и по направлению на этом участке пути ds. Тогда,

Работа же силы f на конечном участке траектории от начальной точки 1 до конечной 2

согласно (4.1), элементарная работа силы f на пути ds

Последний интеграл называется

криволинейным интегралом 2-го рода,

вычисление которого, как правило, проще, чем вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Мощностью силы f называется работа силы в единицу времени.

Так как за бесконечно малое время dt сила

совершает работу dA = f_sds = fdr, то мощность