2. Теорема о кинетической энергии

ускорение частицы, получим

Пусть частица массой m движется из точки 1 в точку 2 по криволинейной траектории под

18

Сокращая на dt и преобразуя левую часть

Интегрируя теперь (4.8) от начальной точки 1 до конечной 2, получим окончательно:

где v_{ — скорость тела в начале и v₂ — в конце. Выражение

называется кинетической энергией

материальной точки, а (4.9) — теоремой о кинетической энергии: приращение

в точку 2 вдоль кривой а, а затем из точки 2 назад в точку 1 вдоль кривой Ь. Общая работа, которая производится при этом консервативной силой

т.е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки 1 и 2. Этот факт свидетельствует о том, что работа консервативной силы является величиной, имеющей глубокое физическое содержание.

4. Потенциальная энергия

Определим теперь важную характеристику потенциального силового поля. Примем для этого какую-либо точку в пространстве, которую

3. Потенциальные силы

Среди всех сил в природе существует целый класс сил (не изменяющихся со временем), обладающих следующим замечательным

свойством: если частица движется по замкнутому пути, так что в результате движения она возвращается в исходную точку, то работа, совершаемая при этом силой, будет равна нулю. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными, или потенциальными. Если

сила f консервативна, то математически условие потенциальности можно записать в следующем виде:

где кружок означает, что интеграл вычисляется по замкнутому пути L.

Кстати, интеграл типа (4.11) для произвольного

вектора А по замкнутому контуру L. Таким

образом, сила f потенциальна, если ее циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.

Условие потенциальности можно

сформулировать другим способом: работа консервативной силы при переносе частицы из какой-то начальной точки 1 в конечную 2 не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек.

Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис.4.2). Предположим, что частица переводится из точки 1

обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу консервативной силы при переходе частицы из какой-либо произвольной точки P(x,y,z) в точку О (рис.4.3). Величина этой работы называется потенциальной энергией частицы.находящейся в точке Р, в потенциальном силовом поле.

Она является функцией координат х, у, z точки Р в неподвижной системе отсчета, т.е.

Работа консервативной силы ? (рис.4.3) при переходе частицы из точки 1 в точку 2 (работа не зависит от пути!):

т.е. работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.

19

Это значит, что проекция силы на некоторое направление s равна производной от U по направлению s. Выражение (4.15) можно записать в виде

откуда следует ( поскольку dU является полным дифференциалом), что

лежит ниже нулевого уровня, z<0 и потенциальная энергия отрицательна.

Пусть теперь имеются две частицы Мит, которые притягиваются друг к другу силой

частицы m в точке Р, расположенной на расстоянии г от М. Нулевой уровень выбираем на бесконечном расстоянии от частицы М. Тогда

Тогда (4.17) принимают вид:

Такие фундаментальные силы в природе, как гравитационная и электрическая, являются силами консервативными, для которых можно ввести соответствующие потенциальные энергии. Так, например, если частица m находится вблизи поверхности Земли, то на нее действует гравитационная сила тяжести mg, являющаяся консервативной.

Выбираем точку О (начало отсчета потенциальной энергии) на какой-то высоте над поверхностью Земли и находим потенциальную

Такое же выражение мы получим, если зафиксируем частицу m и будем перемещать на бесконечность частицу М, поэтому потенциальная энергия (4.21) называется потенциальной энергией гравитационного взаимодействия двух частиц m и М. Она обращается в нуль, когда частицы удалены друг от друга на бесконечно большое расстояние. Эта же формула остается справедливой, если частица m находится вне однородного шара массой М (например, планеты). В этом случае г — расстояние от частицы m до центра шара.

Сила упругости пружины f = kx тоже является консервативной. Нетрудно показать, что потенциальная энергия деформированной пружины

энергию частицы в произвольной точке P(z) (рис.4.5) как работу постоянной силы mg , направленной вертикально вниз, при

перемещении частицы из точки Р в точку О по любому пути. Выбираем путь РАО. Тогда

так как А_РА = mgz и А_АО = 0 (здесь сила перпендикулярна перемещению). Если точка Р

Причем нулевому уровню, как видно из (4.22), соответствует состояние, когда пружина недеформирована, т.е. когда х = 0.