Тема 5. Численное интегрирование (4 часа).

1. Цель занятия

Реализация различных методов численного интегрирования определенных интегралов. Оценка точности и сравнение погрешности численного решения при получении ответа для одного и того же интеграла разными методами, сравнение с точным решением.

5. Контрольные вопросы

1. Почему формула Ньютона – Лейбница может оказаться непригодной для реального вычисления определенного интеграла?

2. Как связаны задачи численного интегрирования и интерполирования?

3. Чем объясняется название формулы трапеций?

4. В чем выражаются преимущества формулы Симпсона перед формулой трапеций?

5. Каким образом при использовании формулы Симпсона можно рассчитывать требуемое число отрезков разбития для достижения заданной точности интегрирования?

6. Каким образом можно произвести оценку точности интегрирования по формулам трапеций и Симпсона, не используя аналитическое выражение подынтегральной функции?

7. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?

8. В чем суть алгоритма двойного счета при интегрировании по формуле Симпсона?

9. Что может послужить препятствием для достижения запрашиваемой точности при использовании метода двойного счета?

10. На какой идее основывается построение квадратурных формул Гаусса?

5. Порядок выполнения работы

1. Решить задачу, в рамках которой проводятся исследования.

Задача . Вычислить определенный интеграл по формуле:

1. левых (правых) прямоугольников;

2. центральных прямоугольников;

3. трапеций;

4. Симпсона;

5. Гаусса (при различных значениях n).

Полученное решение сравнить с точным и вычислить погрешность :

2.Провести тестовые расчеты, варьируя параметры h и l = b-a.

3.Провести исследования по определению оптимального отношения получаемой точности к числу необходимых операций для получения решения. Сравнить эти показатели для различных методов.

5. Оформление отчета по работе

Отчет по работе должен содержать:

1. Постановку задачи.

2. Описание используемых в работе методов численного интегрирования и графики подынтегральных функций.

3. Тексты программ (в случае использования ЭВМ).

4. Результаты расчетов.

5. Анализ результатов.

6. Выводы по работе должны содержать сравнение различных методов численного интегрирования определенных интегралов по: точности получаемого решения, по простоте реализации и быстроте вычислений (числу операций), по влиянию зависимости получаемого решения от длины отрезка интегрирования и от шага интегрирования.

5. Индивидуальные задания.

№	формулы	f1(x)	[a, b]	f2(x)	[a, b]
	a, b		[0,1]		[1,2]
	a, c		[-1,1]		[0,/2]
	a, d		[1,e]		[0,/2]
	a, e		[1,9]		[0,]
	a, f		[-2,-1]		[0,/2]
	a, g		[0,1]		[0,/2]
	b, c		[0,3]		[1,2]
	b, d		[0,2]		[1,e]
	b, e		[0,/2]		[-1/2,1]
	b, f		[0,]		[1,2]
	b, g		[0,]		[0,1]
	c, d		[0,ln2]		[2,3]
	c, e		[1,2]		[0,/2]
	c, f		[0,ln2]		[0,/4]
	c, g		[0,]		[1,3]
	d, e		[0,2]		[0,1]
	d, f		[1/e,e]		[0,/2]
	d, g		[0,1]		[0,ln5]
	e, f		[0,2]		[0,1/2]
	e, g		[-1,1]		[0,1]
	f, g		[0,3/4]		[1,16]
	a, b		[0,ln2]		[0,/2]
	a, c		[-1,1]		[0,]
	a, d		[0,]		[0,1]
	a, e		[0,3]		[0,1]
	a, f		[0,]		[0,1]
	a, g		[0,1]		[4,9]
	b, c		[-13,2]		[0,/4]
	b, d		[0,1]		[0,/2]
	b, e		[0,1]		[0,]