1. Цель занятия

Реализация различных методов численного решения задач интерполяции и экстраполяции. Оценка точности и сравнение погрешности численного решения при получении ответа для одной и той же функции по результатам построения различных интерполяционных полиномов.

2. Контрольные вопросы

1. В каких случаях может потребоваться аппроксимация функции?

2. Какими критериями пользуются для определения «близости» функции? На каких критериях основываются интерполяция и метод наименьших квадратов?

3. На чем основывается доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена для таблично заданной функции?

4. Какой алгоритм вычислений коэффициентов интерполяционного многочлена вытекает из этого доказательства?

5. В какой форме строится интерполяционный многочлен Лагранжа?

6. Как составляется расчетная таблица для ручных вычислений по формуле Лагранжа? Может ли одна и та же таблица использоваться для повторных вычислений (для другого значения аргумента)?

7. Как находятся конечные разности различных порядков через значение функции в узловых точках?

8. Почему первую интерполяционную формулу Ньютона нецелесообразно применять для интерполирования в конце отрезка интерполяции, а вторую – в начале отрезка интерполяции?

9. Как производится оценка погрешности метода интерполяции в следующих случаях: а) интерполируемая функция задана аналитически; б) интерполируемая функция задана таблично?

10. Какой недостаток «кусочного» интерполирования с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона устраняется при интерполяции сплайнами?

11. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов? Чем этот метод отличается от метода интерполяции?

12. Какое из двух приближений одной и той же таблично заданной зависимости считается лучшим?

5. Порядок выполнения работы

1. Решить задачу, в рамках которой проводятся исследования.

Задача. Функция y = f(x) задана аналитически. Составить таблицу значений данной функции на отрезке [a, b] с шагом h. По полученным табличным данным составить интерполяционный многочлен двумя методами из перечисленных ниже. С помощью построенных полиномов составить таблицу значений полинома на отрезке [c, d] с шагом (отрезок [c, d] содержит отрезок [a, b] и в несколько раз больше его). Сравнить полученные значения полиномов с точными значениями, которые принимает функция в тех же точках. Оценить погрешность аппроксимации функции заданными полиномами на различных участках отрезка [c, d]. Сделать различные выводы о возможностях применения используемых интерполяционных полиномов для решений задач интерполяции и экстраполяции.

При решении задачи используются следующие интерполяционные формулы:

1. первая интерполяционная формула Ньютона;

2. интерполяционная формула Лагранжа.

При решении задачи студент должен провести самостоятельные исследования о влиянии следующих параметров на точность получаемого:

1. n – оптимальное число точек необходимое для построения интерполяционного полинома;

2. l – отношение длины отрезка [c, d] к длине отрезка [a, b];

3. h – шага разбиения отрезка [a, b].

2.Провести тестовые расчеты, варьируя вышеуказанные параметры.

3.Провести исследования, оценивая погрешности всех результатов.