Тема 2. Решение нелинейных уравнений (4 часа).

1. Цель занятия

Реализация различных методов численного решения нелинейных уравнений.

Оценка точности и сравнение погрешности численного решения при получении ответа для одной и той же функции по результатам применения различных итерационных методов.

5. Контрольные вопросы

1. Что означает «решить уравнение аналитически» и «решить уравнение численно»?

2. В чем заключается задача отделения корней?

3. В чем суть графического метода отделения корней? Какие свойства функции одной переменной используются для проверки правильности отделения корня и его единственности на отрезке?

4. В чем состоит основная идея метода половинного деления?

5. Как определяется понятие «скорость сходимости итерационного процесса»?

6. Какую скорость сходимости для решения уравнения с одной переменной имеют метод половинного деления и метод простой итерации?

7. Как соотносятся скорость сходимости и скорость решения задачи?

8. По каким причинам методы хорд и касательных предпочтительнее метода простой итерации?

9. Каков порядок сходимости метода хорд? Метода касательных?

10. Какие численные методы решения уравнений с одной переменной реализованы в инструментальных пакетах?

5. Порядок выполнения работы

1. Решить задачу, в рамках которой проводятся исследования.

Задача. Задано нелинейное уравнение f(x)=0. На отрезке [a, b] требуется вычислить все корни этого уравнения с точностью , используя предложенные итерационные методы. При решении задачи корни уравнения отделять графическим способом, предварительно построив график функции левой части уравнения.

При решении задачи используются следующие итерационные методы:

1. дихотомии (деления отрезка пополам, бисекции);

2. Ньютона;

3. модифицированный Ньютона;

4. простой итерации;

5. хорд;

6. секущих;

7. хорд и касательных.

5. При решении задачи студент должен провести самостоятельные исследования о влиянии следующих параметров на точность получаемого:

1. n –число итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью ;

2. N – суммарное число операций, необходимое для получение решения с заданной точностью .

5. Провести тестовые расчеты, варьируя параметр .

4. Провести исследования, оценивая погрешности всех результатов.

4. Оформление отчета по работе

Отчет по работе должен содержать:

1. Постановку задачи.

2. Описание используемых в работе итерационных методов.

3. Тексты программ (в случае использования ЭВМ).

4. Результаты расчетов.

5. Анализ результатов.

6. Выводы по работе.

Замечания: В выводах указываются основные рекомендации по применению итерационных методов, основываясь на: анализе результатов, трудоемкости выполняемых работ по получению результатов, объем используемых ресурсов ПК.

5. Индивидуальные задания.

№	используемые итерационные методы	Уравнения f1(x)=0 и f2(x)=0	отрезки [a1, b1] и [a2, b2]
	дихотомии, Ньютона
	дихотомии, простой итерации
	дихотомии, хорд
	дихотомии, хорд и касательных
	Ньютона, простой итерации
	Ньютона, хорд
	Ньютона, хорд и касательных
	простой итерации, хорд
	простой итерации, хорд и касательных
	дихотомии, Ньютона
	дихотомии, простой итерации
	дихотомии, хорд
	дихотомии, хорд и касательных
	Ньютона, простой итерации
	Ньютона, хорд
	Ньютона, хорд и касательных
	простой итерации, хорд
	простой итерации, хорд и касательных
	дихотомии, Ньютона
	дихотомии, простой итерации
	дихотомии, хорд
	дихотомии, хорд и касательных
	Ньютона, простой итерации
	Ньютона, хорд
	Ньютона, хорд и касательных
	простой итерации, хорд
	простой итерации, хорд и касательных
	дихотомии, Ньютона
	дихотомии, простой итерации
	дихотомии, хорд