- •Устойчивость систем управления
- •Часть 2
- •1.1 Понятие устойчивости систем 4
- •1.2 Методы определения устойчивости
- •1.2.1 Оценка устойчивости по критерию Ляпунова
- •1.2.2 Критерий устойчивости Гурвица
- •Пример 1.1. Передаточная функция разомкнутой системы
- •1.2.3 Критерий устойчивости Михайлова
- •1.2.4 Критерий устойчивости Найквиста – Михайлова
- •1.2.5 Логарифмический частотный критерий устойчивости
- •2 Практические занятия
- •2.1 Расчетная часть
- •2.2 Математическое описание элементов системы эп
- •2.2.1 Математическое описание электродвигателя
- •2.2.2 Математическое описание тиристорного преобразователя
- •2.2.3 Математическое описание регуляторов
- •2.2.4 Математическое описание датчиков обратных связей
- •2.3 Порядок выполнения работы
- •3 Оценка устойчивости систем с помощью пакета Mathcad
- •3.1 Краткое описание системы Mathcad
- •3.2 Формирование документов Mathcad
- •3.3 Определение корней характеристического уравнения системы
- •3.4 Расчет определителей в системе Mathcad
- •3.5 Расчет частотных характеристик системы с помощью Mathcad
- •3.6 Построение переходных характеристик системы
- •3.6.1 Численное определение переходной характеристики системы
- •4 Контрольные вопросы
- •Список литературы
1.2.5 Логарифмический частотный критерий устойчивости
Исследование устойчивости САР существенно упрощается при применении логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ). Преимущества метода ЛЧХ объясняются простотой построения логарифмических частотных характеристик и очевидной связью параметров системы с видом этих характеристик.
Применение метода ЛЧХ дает возможность видеть влияние того или иного параметра системы на ее устойчивость и переходный процесс, а также позволяет сравнительно просто определить характеристику корректирующего устройства, обеспечивающего требуемые показатели качества системы.
Логарифмический частотный критерий устойчивости основывается на амплитудно-фазовом критерии устойчивостии представляет по существу иную, более удобную формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости при пользовании ЛЧХ. Рассмотрим только случай, когда САР в разомкнутом состоянии устойчива. Вначале выясним критерий устойчивости для САР первого рода, имеющих наиболее простые по форме частотные характеристики.
На рисунке 1.9, а изображены АФЧХ разомкнутых систем, отличающихся лишь коэффициентами усиления k (k2>k1). Из них АФЧХ1, согласно амплитудно-фазовому критерию устойчивости, соответствует устойчивой, АФЧХ2— неустойчивой системе в замкнутом состоянии.
На рисунке 1.9, б приведены ЛЧХ, соответствующие АФЧХ, изображенным на рисунке 9, а. Поскольку системы отличаются лишь коэффициентом усиления k, то их ЛФЧХ совпадают, а ЛАХ2системы, имеющейk2>k1, располагается выше, чем ЛАХ1системы сk1.
Из рисунке 1.9, а видно, что устойчивость системы обеспечивается, если аргумент (ср)АФЧХ системы при частоте срезасрпо абсолютной величине меньше, чем180°.
а – АФЧХ; б – ЛЧХ;
Рисунок 1.9 - Частотные характеристики систем, отличающихся коэффициентом усиления
Таким образом, применительно к ЛЧХ условие устойчивости можно сформулировать следующим образом: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если ордината логарифмической фазочастотной характеристики (аргумент АФЧХ) на частоте среза ср системы по абсолютной величине меньше, чем 180°, т. е. если |(ср)|<180°.
Система, имеющая ЛАХ 1(рисунок 1.9, б), устойчива, поскольку|1(ср)|<180°, а система с ЛАХ2неустойчива, так как|2(ср)|>180°.
Система находится на границе устойчивости, если ее АФЧХ в разомкнутом состоянии проходит через точку с координатами (-1, j0), т. е. если на частоте, на которой система вносит запаздывание1()=-180°, модульA()частотной передаточной функции равен1. Поскольку20lg1=0, то система будет находиться на границе устойчивости, если на частотеЛАХ будет пересекать ось 0 дБ, т. е. еслиср=. ЛЧХ системы, находящейся на границе устойчивости, изображены на рисунке 1.10, ЛАХ системы изображена ломанойLгр. На этом же рисунке ломанойLустизображена ЛАХ устойчивой системы.
Рисунок 1.10 - К определению запаса устойчивости по амплитуде и фазе
Запас устойчивости по амплитуде h[дБ] определяется как число децибел, на которое нужно увеличить усиление системы, чтобы система достигла границы устойчивости. Запас устойчивости по фазе°определяется как разность между180°и абсолютным значением аргумента АФЧХ при частоте срезаср, т. е.
°=180°-(ср).