Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
курсовая работа / Пособие по устойчивости САУ.doc
Скачиваний:
151
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
758.27 Кб
Скачать

1.2.2 Критерий устойчивости Гурвица

Критерий, предложенный немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г., формулируется следующим образом: чтобы все корни характеристического уравнения n-й степени dnpn+dn-1pn-1+...+d1p+d0=0 имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при dn>0 все n определителей Гурвица были больше нуля.

При составлении определителей Гурвица для уравнения n-й степени надо составитьnопределителей: последний (главный) определитель будетn-го порядка, предпоследний –(n1)-го порядка и т. д.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при dn>0 должны быть больше нуля всеnопределителей Гурвица, полученных из квадратной матрицы коэффициентов.

Главный определитель nсоставляется следующим образом:

1) по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, начиная сdn-1и до последнегоd0включительно:

n=

dn-1

dn-3

dn-5

...

0

dn

dn-2

dn-4

...

0

0

dn-1

dn-3

...

0

;

...

...

...

d1

0

0

0

0

d2

d0

2) столбцы вверх от диагонали дополняются коэффициентами с убывающими индексами, а столбцы вниз от диагонали — коэффициентами с возрастающими индексами;

3) места недостающих коэффициентов заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием столбца справа и строки снизу.

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний по формуле

n=d0n-1>0. (1.10)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию d0>0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравниванием нулю последнего определителя: n=0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (1.10), это условие распадается на два условия:d0=0иn-1=0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

Условия устойчивости для некоторых систем, характеристические уравнения которых могут быть представлены в виде (1.5), сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1 - Значения определителей n

Значения определителей

Условия устойчивости

1

2

3

4

1

d0

-

-

-

di>0

2

d1

d0d1

-

-

di>0

3

d2

d1d2-d0d3

d03

-

di>0

2>0

4

d3

d2d3-d1d4

d1(d2d3-d1d4)-d0d23

d03

di>0

2>0

3>0

5

d4

d3d4-d2d5

d2(d3d4-d2d5) +

d4(d0d5-d1d4)

(d1d2-d0d3)*

(d3d4-d2d5)-

(d0d5-d1d4)2

di>0

2>0

4>0

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.