1.2.2 Критерий устойчивости Гурвица

Критерий, предложенный немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г., формулируется следующим образом: чтобы все корни характеристического уравнения n-й степени d_npⁿ+d_n-1p^n-1+...+d₁p+d₀=0 имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при d_n>0 все n определителей Гурвица были больше нуля.

При составлении определителей Гурвица для уравнения n-й степени надо составитьnопределителей: последний (главный) определитель будетn-го порядка, предпоследний –(n–1)-го порядка и т. д.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при d_n>0 должны быть больше нуля всеnопределителей Гурвица, полученных из квадратной матрицы коэффициентов.

Главный определитель _nсоставляется следующим образом:

1) по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, начиная сd_n-1и до последнегоd₀включительно:

n=	dn-1	dn-3	dn-5	...	0
	dn	dn-2	dn-4	...	0
	0	dn-1	dn-3	...	0 ;
	...	...	...	d1	0
	0	0	0	d2	d0

2) столбцы вверх от диагонали дополняются коэффициентами с убывающими индексами, а столбцы вниз от диагонали — коэффициентами с возрастающими индексами;

3) места недостающих коэффициентов заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием столбца справа и строки снизу.

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний по формуле

_n=d₀_n-1>0. (1.10)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию d₀>0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравниванием нулю последнего определителя: _n=0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (1.10), это условие распадается на два условия:d₀=0и_n-1=0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

Условия устойчивости для некоторых систем, характеристические уравнения которых могут быть представлены в виде (1.5), сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1 - Значения определителей _n

	Значения определителей				Условия устойчивости
	1	2	3	4
1	d0	-	-	-	di>0
2	d1	d0d1	-	-	di>0
3	d2	d1d2-d0d3	d03	-	di>0 2>0
4	d3	d2d3-d1d4	d1(d2d3-d1d4)-d0d23	d03	di>0 2>0 3>0
5	d4	d3d4-d2d5	d2(d3d4-d2d5) + d4(d0d5-d1d4)	(d1d2-d0d3)* (d3d4-d2d5)- (d0d5-d1d4)2	di>0 2>0 4>0