3 Математическое описание исследуемой систем автоматического управления

3.1 Получение математической модели летательного аппарата

Движение летательного аппарата в горизонтальной плоскости описывается двумя уравнениями — уравнением баланса моментов и уравнением баланса сил.

, (3.1)

, (3.2)

где J— момент инерции всех вращающих частей;

М_р— момент руля;

М_ф— флюгерный момент;

М_д— демпфирующий момент;

М_в— возмущающий момент;

F_р— отклоняющая сила руля;

F_к— отклоняющая сила корпуса.

Проведём линеаризацию (3.1) и (3.2), для этого определим установившийся режим работы. Любая нелинейная модель — всегда модель в отклонениях от заданного стационарного или стабилизированного режима, при этом она адекватна только в пределах заданного отклонения. Оно должно быть небольшим. Будем считать, что самолёт совершает прямолинейное движение с постоянной скоростью по оси ориентации в пространстве, возмущения отсутствуют, то есть . В этом случае (3.1) и (3.2) имеют вид

(3.3)

(3.4)

Формулы (1.3) и (1.4) описывают модель летательного аппарата в установившемся режиме. Для проведения линеаризации разложим М_р,М_фиМ_дв ряд Тейлора в окрестности стационарного режима. Ограничимся линейными членами:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Будем обозначать отклонения от заданного режима теми же переменными, которые являются аргументом функции, тогда δ,βиψв (3.5), (3.6) и (3.7) будут иметь смысл отклонений. Подставим (3.5), (3.6) и (3.7) в (3.1):

(3.8)

Вычтем (1.3) из (1.8), получим уравнение в отклонениях от установившегося режима:

(3.9)

Если ввести аэродинамические коэффициенты то можно записать (3.9) в виде

(3.10)

Проведем линеаризацию уравнения моментов сил

(3.11)

(312)

(3.13)

С учетом (1.12) и (1.13)

(3.14)

Вычтем (3.4) из (3.14), получим уравнение в отклонениях

(3.15)

Так как , где— угловая скорость, получим

, (3.16)

где ,.

Итак, (3.10) и (3.16) составляют систему линейных ДУ, описывающую движение летательного аппарата в горизонтальной плоскости. Учитывая, что ,

(3.17)

(3.18)

Перейдём в область изображений:

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Формулы (3.23) и (3.24) представляют собой выражения для передаточных функций летательного аппарата по управлению и по возмущению.

3.2 Математическая модель двигателя постоянного тока

ИД – исполнительный двигатель – электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением и управлением по цепи якоря. При фиксированном возбуждении двигатель имеет две степени свободы и поэтому необходимо иметь два дифференциальных уравнения: по управляющему воздействию в цепи якоря и по возмущающему воздействию момента нагрузки на вал, следующих за исполнительным двигателем устройств.

Дифференциальное уравнение по цепи якоря записывается с использованием II-го закона Кирхгофа:

(3.25)

Второе дифференциальное уравнение получается из равенства моментов на валу двигателя:

(3.26)

L_яи r_я– индукция и сопротивление цепи якоря

С_еи С_м– коэффициенты пропорциональности

J – приведённый к оси двигателя суммарный момент инерции

 - угловая скорость двигателя

Ф – поток возбуждения

М – момент нагрузки, приведённой к валу двигателя

Так как Ф=const, то С_е Ф=С_е, С_м Ф= С_м

(3.27)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка по скорости вращения вала двигателя во временной области, а для получения передаточной функции необходимо перейти в комплексную область при нулевых начальных условиях:

(3.28)

Принимаем за постоянные времени электрической и магнитной составляющих дроби:

(3.29)

(3.30)

Так как возмущающего воздействия на вал нет, то М=0; также известно, что угол поворота вала двигателя связан с угловой скоростью двигателя=s, следовательно:

(3.31)

Из этих рассуждений можно получить передаточную функцию, с учетом того, что е является входным параметром исполнительного двигателя, а - выходным:

(3.32)

В следствие того, что электрические процессы имеют много меньшую постоянную времени (Т_я<<Т_м) и протекают намного быстрее магнитных, следовательно ими можно пренебречь при рассмотрении всей системы:

(3.33)