курсовая работа / analiz_sistemy_variant_1

1. Анализ устойчивости замкнутой системы.

Рисунок 1 - Структурная схема

1.1. Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения.

Составим передаточную функцию замкнутой системы, используя структурную схему, изображенную на рисунке 1

,

где – передаточная функция разомкнутой системы, .

Приравняв знаменатель передаточной функции к нулю, получаем характеристическое уравнение замкнутой системы

(1)

где – коэффициент усиления разомкнутой системы.

Подставляем параметры системы в формулу (1) и решаем полученное уравнение

(Все вычисления, построения графиков здесь и далее сделаны в программе Mathcad 2001i).

В результате вычислений получили три корня, один вещественный левый и пару комплексно сопряженных левых корня. Так как все корни характеристического уравнения левые, то замкнутая система устойчива.

1.2. Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию.

Так как характеристическое уравнение замкнутой системы 3-го порядка, то применим критерий Гурвица.

Все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы a_i положительные, необходимое условие устойчивости для данной системы выполняется.

Воспользуемся достаточным условием устойчивости Гурвица для системы третьего порядка: произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних коэффициентов

. (2)

Для нашей системы:

Получили верное неравенство, подставив значения в формулу (2), следовательно, замкнутая система устойчива.

1.3. Анализ устойчивости системы по частотным критериям.

Критерий Михайлова.

Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты от нуля до бесконечности проходил последовательно n квадрантов, где n - порядок системы, нигде не обращаясь в ноль. Направление прохождения годографа Михайлова должно быть положительно.

Записываем характеристический полином замкнутой системы

.

Производим замену S = jw, полученный полином носит название функции Михайлова.

Составим таблицу для построения годографа Михайлова

Таблица 1.3.1

w	X(w)	Y(w)
0	13	0
44.72	0	2.68
56.57	-7.8	0
∞	-∞	-∞

По данным таблицы 1.3.1 построим годограф Михайлова

Рисунок 1.3.1 – Годограф Михайлова

Из рисунка 1.3.1 видим, что годограф проходит три квадранта в положительном направлении (против часовой стрелки), следовательно, замкнутая система устойчива.

Критерий Найквиста.

Произведем анализ устойчивости разомкнутой системы.

Записываем передаточную функцию разомкнутой системы

. (3)

Подставляем параметры системы в формулу (3) и получаем передаточную функцию в следующем виде:

.

Анализируем устойчивость разомкнутой системы по корням характеристического уравнения разомкнутой системы.

Запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы

Решая равенство (4) получили, что все корни характеристического уравнения разомкнутой системы левые, следовательно, разомкнутая система устойчива. Поэтому для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста не охватывал особую точку (-1; j0).

.

Составим таблицу для построения годографа Найквиста

Таблица 1.3.2

w	X(w)	Y(w)
0	12	0
12.4	0	-6.4
56.6	-0.6	0
∞	0	0

По данным таблицы 1.3.2 построим годограф Найквиста

Рисунок 1.3.2 –Годограф Найквиста

Как видно из рисунка 1.3.2 годограф Найквиста не охватывает особую точку с координатами (-1; j0), следовательно, замкнутая система устойчива.

Рассмотрим критерий Найквиста на плоскости ЛЧХ.

Передаточная функция разомкнутой системы при S = jw

Определим модуль

, (5)

где P(w) и Q(w) – действительная и комплексная части передаточной функции.

Подставив числовые значения в формулу (5), получим модуль

.

Построим расчетные ЛАЧХ и ЛФЧХ по следующим зависимостям:

,

.

Рисунок 1.3.3 - ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Определим логарифмы частот сопряжения

Таблица 1.3.3

	Т, c	Wc=1/T, c	logWc, дек
1	0.01	100	2
2	0.1	10	1
3	0.05	20	1.3

Значение L(w) при lg(w) = 0

К_р=12;

20log(K_р)=21.6 дБ.

Построим асимптотическую ЛАЧХ по данным таблицы 1.3.3 и значению 20log(Kp).

2. Построение области устойчивости системы в плоскости параметров Кр, Т1.

Для построения области устойчивости воспользуемся необходимым условием устойчивости и критерием Гурвица

(6)

Параметры системы, в области которых необходимо построить область устойчивости считаем переменными, а все остальные заменяем на их числовой эквивалент.

Запишем (6) применительно к нашей системе:

Для построения области устойчивости знаки неравенств заменим на равенства.

Рисунок 2 - Область устойчивости

Из рисунка 2 видно, что точка, соответствующая заданным параметрам

( Т₁= 0.01 и К_p= 12), расположена в области устойчивости, что еще раз убеждает нас в том, что система устойчива.

5. Анализ качества системы в переходном режиме с помощью прямых показателей качества системы, показателя колебательности, величин запасов устойчивости системы.

Определим прямые показатели качества системы по переходной характеристике

Таблица 5.1

t, с	0	0.075	0.15	0.21	0.28	0.35	0.42	0.48
h(t)	0	0.52	0.15	0.42	0.22	0.37	0.26	0.34

По данным таблицы 5.1 построим график переходной функции

Рисунок 5.1 – График переходной функции системы

Перерегулирование:

67.74%,

Время регулирования:

Определим показатель колебательности.

По передаточной функции замкнутой системы запишем выражение для модуля передаточной функции

.

Таблица 5.2

N(w)	0.31	0.37	0.97	1.54	0.38	0.13	0
w, c	0	20	40	46	60	80	∞

По данным таблицы 5.2 построим график зависимости модуля передаточной функции от частоты

Рисунок 5.2 – АЧХ замкнутой системы

Определим показатель колебательности М по АЧХ замкнутой системы

Определим запасы устойчивости системы по ЛЧХ разомкнутой системы, для этого найдем lg(w_cp) и lg(w_кр).

дек, при L(w_cp) = 0 дБ,

дек, при ψ(w_кр) = -3.14 рад

Wcр=44.67 с

Wкр=56.23 с

Получаем, что

дБ

рад

6. Анализ качества системы в установившемся режиме.

Ошибка системы в установившемся режиме складывается из величин ошибки от каждого из воздействий, действующих на систему, в отдельности.

(7)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия:

где С0=0.0769 ; С1=0.0114

Подставим значение: x₀ = 4t

, система статическая относительно сигнала задания.

Передаточная функция по ошибке от возмущающего воздействия

где С0=0.4615

Подставим значение: F=1

, система статическая относительно сигнала возмущения, т.к. С_i≠0.

Используя формулу (7), формируем ошибку системы в установившемся режиме, а также приводим размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала

.

Литература

1. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы. - М. 1982 г.

2. Бесекерсткий В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М. 1975 г.

3. Павловская О. О. Конспект лекций.

14