Анализ нелинейной системы

По заданной структурной схеме системы автоматического управления построить её фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету выполнить анализ системы автоматического управления и определить её устойчивость.

ЗАДАНИЕ:

T₀=16 a_wср=0.5

K₀=7.3 U_max=110

K₁=0.98 b=a_wср /K₁

K₂=3.9

K₃=0.008

РЕШЕНИЕ:

Выделим в заданной стуктурной схеме линейную и нелинейную части данной системы:

где W(p) – эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев системы.

F(Q₁-Q₂) – эквивалентная статическая характеристика всех нелинейных элементов.

;

Решение системы методом припасовывания

По определению W(p)= Q₂/Q₃ , следовательно

W(p)· Q₃ = Q₂;

Q₃ = F(Q₁-Q₂);

Q₂ = W(p)·F(Q₁-Q₂).

преобразуем уравнения учитывая линейную часть:

, где K=К₀К₁К₂К₃

. (1)

Будем считать входное воздействие Q₁ системы постоянным(Q₁=const). Тогда в уравнении (1) перейдем от величины Q₂ к её приращению относительно постоянного воздействия Q₁:

Введём обозначение: Q₂ - Q₁ = x, тогда

px = pQ₂ - pQ₁;

px = pQ_2.

В результате уравнение (1) примет вид:

(2)

Нелинейная часть системы является трехпозиционным реле, статическая характеристика которого приведена выше. Решение данного уравнения будет строиться исходя из заданной нелинейности:

(3)

В соответствии с системой (3) и учетом того, что функция является нечетной, т.е. симметрична относительно начала координат, уравнение (2) разбивается на систему из трёх уравнений:

(4)

Заменим px=V, тогда система (4) приобретет вид:

(5)

Найдем решение каждого из уравнений системы:

1) .

Т.к. изначально система выведена в точку фазовой плоскости М₀ с координатами (x₀,V₀) , то интегрирование будет: от x₀ до x ; от V₀ до V.

Решив интеграл получим:

2)

- отрезок прямой для интервала

3)

Решение аналогично первому уравнению:

Построим фазовый портрет по полученным решениям уравнений системы (5):

Пусть первая точка будет M₀(1;0,5). Первое уравнение имеет вид:

для x > 0.51

Вторая точка будет М₁(0,51; -0,37655). Второе уравнение имеет вид:

для x > 0.51

Третья точка будет М₂(-0,51;-0,31181). Третье уравнение имеет вид:

для –0.51 = x = 0.51

Четвертая точка будет М₃(-0,51;0,24495), тогда четвертое уравнение имеет вид:

для х < -0.51

Пятая точка будет M₄(0,51;0,18135). Пятое уравнение имеет вид:

для –0.51 = x = 0.51

Шестая точка будет М₅(0,51;-0,14653). Шестое уравнение имеет вид:

для x > 0.51

Седьмая точка будет M₆(-0,51;-0,082306). Седьмое уравнение имеет вид:

для –0.51 = x = 0.51

Восьмая точка будет М₇(-0,51;0,0767), тогда восьмое уравнение имеет вид:

для х < -0.51

Девятая точка будет М₈(0,51;0,013), девятое уравнение имеет вид:

для –0.51 = x = 0.51

Десятая точка будет М₉(0,51;-0,0122), десятое уравнение имеет вид:

для x > 0.51

Последнее уравнение пересекает ось абсцисс в интервале (-0,51;0,51) в точке М₁₀(0,31592;0), следовательно, все уравнения для фазового портрета найдены. Это означает что, с этого момента система блуждает с нулевой скоростью и неопределенностью по координате от -0,51 до +0,51, это состояние называется состоянием устойчивости.

По фазовому портрету можно сделать следующие выводы: анализируемая нелинейная система устойчива, характер переходного процесса в системе – затухающий.

По заданной структурной схеме составим принципиальную схему системы автоматического регулирования температуры: