2.3 Анализ влияния коэффициента усиления разомкнутой сау на устойчивость

Передаточная функция замкнутой САУ:

Приравняв знаменатель замкнутой САУ к нулю, получим:

Теперь выразим k_тр:

С учетом коэффициентов уравнение примет вид:

Теперь произведем замену :

Домножим на комплексное сопряженное и получим:

В итоге действительная и комплексная составляющие имеют вид:

Теперь с помощью метода D-разбиений можно судить о влиянии коэффициента усиления разомкнутой САУ на устойчивость.

2.4 Построение кривой d-разбиения и выделение областей устойчивости

Составим таблицу, требуемую для построения кривой D-разбиения.

ω	-∞	-5.083	-2	0	2	5.083	∞
X(ω)	∞	46.592	6.774	0	6.774	46.592	∞
Y(ω)	-∞	0	-1.55	0	1.55	0	∞

График будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 6 – кривая D-разбиения

Построим таблицу Рауса для .

Из таблицы Рауса следует что в первой зоне САУ устойчива.

1. В первой зоне все корни «левые».

2. Во второй зоне есть один «правый» корень.

3. В третьей зоне есть два «правых» корня.

Для определения , коэффициента усиления, при котором САУ находится на границе устойчивости, найдем точку пересечения кривойD-разбиения с осью абсцисс. При его значение.

2.5 Построение и анализ диаграммы Боде для разомкнутой сау

1. Передаточная функция разомкнутой системы:

2. При ().Так как в нашей САУ есть один интегратор и нет ни одного реального дифференцирующего звена, то проводим асимптоту через точкус наклоном.

3. Разомкнутая САУ имеет четыре постоянные времени T, T₃, T₇, T₈ которым соответствуют четыре частоты сопряжения:

Отложим эти частоты на оси абсцисс.

4. Проведем построенную асимптоту до наименьшей частоты сопряжения. Наименьшей частотой является . При этой частоте ЛАХ претерпевает излом на , так какявляется постоянной времени инерционного звена. Получившийся наклон асимптоты.

5. В следующей точке при ЛАХ ломается еще на , так какявляется постоянной времени инерционного звена. Получившийся наклон асимптоты.

6. В точке ЛАХ поднимается на , что характерно для форсирующего звена. Полученный наклон.

7. В последней точке при ЛАХ ломается на , так какявляется постоянной времени инерционного звена. Получившийся наклон асимптоты.

Затем строим ФЧХ. ПФ имеет вид:

С учетом звена запаздывания:

, тогда

Звено запаздывания делает неустойчивую САУ еще более неустойчивой.

Воспользуемся вычислительным пакетом MathLAB 7.3.0. Программа имеет следующий листинг:

>> k=192.308

k =

192.3080

>> T=0.16

T =

0.1600

>> T7=1.618

T7 =

1.6180

>> T8=0.002

T8 =

0.0020

>> T3=0.2

T3 =

0.2000

>> tau=0.007

tau =

0.0070

>> w1=tf([k*T,k],[T7*T8*T3,T3*T7+T7*T8+T3*T8,T8+T3+T7,1,0])

Transfer function:

30.77 s + 192.3

----------------------------------------------------

0.0006472 s^4 + 0.3272 s^3 + 1.82 s^2 + s

>> w2=tf([k*T,k,12*k*T/tau^2,12*k/tau^2-6*k*T/tau,-6*k/tau],[T7*T8*T3,T3*T7+T7*T8+T3*T8,T8+T3+T7+12*T7*T8*T3/tau^2,1+6*T7*T8*T3/tau+12*T7*T3/tau^2+12*T7*T8/tau^2+12*T8*T3/tau^2,6*T7*T3/tau+6*T7*T8/tau+6*T8*T3/tau+12*T7/tau^2+12*T8/tau^2+12*T3/tau^2,6*T7/tau+6*T8/tau+6*T3/tau+12/tau^2,6/tau,0])

Transfer function:

30.77 s^4 + 192.3 s^3 + 7.535e006 s^2 + 4.707e007 s - 1.648e005

----------------------------------------------------------------------------------------

0.0006472 s^7 + 0.3272 s^6 + 160.3 s^5 + 8.014e004 s^4 + 4.46e005 s^3

+ 2.465e005 s^2 + 857.1 s

>> margin(w1);grid

>> margin(w2);grid

Второй график выведенной диаграммы Боде и будет представлять собой ФЧХ. Снимем показатели и построим таблицу значений для ФЧХ:

С учетом звена запаздывания:

	,	, °
-0.99	0.101	-456
-0.76	0.174	-464
-0.51	0.311	-476
-0.26	0.555	-493
0	1	-510
0.25	1.77	-524
0.5	3.15	-535
0.75	5.63	-541
1	10	-543
1.25	17.9	-544
1.5	32	-545
1.76	57.1	-547
2	100	-552

Рисунок 7 – диаграмма Боде (без учета звена запаздывания)

Рисунок 8 – диаграмма Боде (с учетом звена запаздывания)