- •Практическая работа № 1 установление закона изменения случайных величин по результатам опыта
- •1. Основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики
- •II. Методика построения эмпирической кривой вычисление ее параметров и характеристик
- •1. Построение эмпирической кривой
- •2. Техника вычислений параметров эмпирического распределения
- •А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами. Объем выборки n 25
- •Б) Значения выборки заданы многозначными величинами. Объем выборки n 25
- •В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема. Объем выборки n 25
- •Методика определения поля допуска по эмпирическому распределению
- •4. Вычисление коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеивания
- •А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
- •Б) Поле допуска не задано
- •5. Критерии для непринятия резко выделяющихся наблюдений (ошибок измерения)
- •6. Функции плотности теоретических и эмпирических распределений
- •Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
- •2. Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
- •7. Сравнение эмпирических и теоретических функций распределения частот по критериям согласия
- •А) Критерий согласия Пирсона
- •Б) Критерий Колмогорова
- •Практическая работа № 2 установление вида зависимости между двумя переменными величинами
- •Функциональная зависимость
- •Корреляционная зависимость
- •Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема
- •Приложения
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Значение функции
4. Вычисление коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеивания
Часто требуется, кроме среднего значения и дисперсии, определять коэффициенты относительной асимметрии и относительного рассеивания (э, Кэ). При их определении может быть несколько случаев.
А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
Для определения коэффициентов э, Кэ вначале по выборке определяются и S, а затем по формулам находятся значения коэффициентов э, Кэ.
Рассмотрим пример по материалам табл. 5.
Положим, что заданы нижнее отклонение НО = t1 = -0.14 мм и верхнее отклонение ВО = t2 = 0,12 мм.
По значениям t1 и t2 определяем координату середины поля допуска и половину поля допуска В рассматриваемом примере
Для данной выборки вычислены = - 0,0284; S = 0,0515.
Тогда
Б) Поле допуска не задано
Прежде чем вычислять коэффициенты э, Кэ необходимо определить поле допуска по методике, изложенной в п.3. Коэффициенты э, Кэ следует рассчитывать относительно определенного таким образом поля допуска.
Рассмотрим тот же пример.
Нашли, что t1 = -0.2033; t2 = 0.1469; э= -0.084 э = 0,1751. Для рассматриваемого примера S=0.0515.
Тогда
5. Критерии для непринятия резко выделяющихся наблюдений (ошибок измерения)
Очень часто на практике встает вопрос о том, следует отвергнуть или нет некоторые результаты эксперимента, резко выделяющиеся от остальных. Если известно, что этот результат получен из-за грубой ошибки, то его необходимо отбросить, не подвергая никаким статистическим оценкам.
В тех же случаях, когда имеется лишь подозрение на то, что один или несколько результатов получены ошибочно, необходимо проверить это подозрение.
Последовательность вычисления рассматриваем на примере [*].
Имеем следующие результаты наблюдений:
1 |
3,68 |
6 |
5,08 |
11 |
2,81 |
16 |
4,43 |
2 |
3,11 |
7 |
2,95 |
12 |
4,65 |
17 |
3,43 |
3 |
4,76 |
8 |
6,35 |
13 |
3,27 |
18 |
3,26 |
4 |
2,75 |
9 |
3,78 |
14 |
4,08 |
19 |
2,48 |
5 |
4,15 |
10 |
4,49 |
15 |
4,51 |
20 |
4,84 |
Измерение 8, давшее величину 6,35, вызывает подозрение, так как заметно отличается от остальных. Проверим правильность нашего подозрения о том, что это измерение есть результат грубой ошибки.
Вычисляем среднее значение из 19 остальных результатов (6,35 - отбрасываем)
Вычисляем среднее квадратическое отклонение
По табл. 8 находим, что для N = 19 и, например, для = 0,01 значение t' = 2,953.
____________________________________
* Ван дер Ваден Б.А. Математическая статистика, М. ИЛ, 1960.
Таблица для непринятия резко выделяющихся наблюдений
Таблица 8
N |
=0,05 |
=0,02 |
=0,01 |
=0,001 |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 |
15,561 4,969 3,558 3,041 2,777 2,616 2,508 2,431 2,372 2,327 2,291 2,261 2,236 2,215 2,197 2,181 2,168 2,156 2,145 2,135 2,127 2,119 2,112 2,105 2,099 2,094 2,088 2,083 2,079 2,048 2,018 |
38,973 8,042 5,077 4,105 3,635 3,360 3,108 3,058 2,959 2,887 2,829 2,782 2,743 2,710 2,683 2,658 2,637 2,618 2,602 2,587 2,575 2,562 2,552 2,541 2,532 2,524 2,517 2,509 2,503 2,456 2,411 |
77,964 11,460 6,530 5,043 4,355 3,963 3,711 3,536 3,409 3,310 3,233 3,170 3,118 3,075 3,038 3,006 2,997 2,953 2,932 2,912 2,895 2,880 2,865 2,852 2,840 2,830 2,820 2,810 2,802 2,742 2,683 |
779,696 36,486 14,468 9,432 7,409 6,370 5,733 5,314 5,014 4,791 4,618 4,481 4,369 4,276 4,198 4,131 4,074 4,024 3,979 3,941 3,905 3,874 3,845 3,819 3,796 3,775 3,755 3,737 3,719 3,602 3,492 |
120 |
1,988 1,960 |
2,368 2,326 |
2,628 2,576 |
3,388 3,291 |
Вычисляем
Вычисляем t'S = 2,953 . 0,784 = 2,315.
Так как 2,53 2,315, то с вероятностью 1 - 0,01 полученное значение 6,35 нельзя считать случайным и его необходимо отбросить.
Если требуется большая вероятность ( 0,01) надежности, например, 1-= 1-0,001, то для N = 19, = 0,001 по табл. 8 получаем t'=4,024. Тогда t'S=4,024.0,784=3,14. Но то с вероятностью 1- = 1 - 0,001 результат xN+1 = 6,35 можно считать случайным.
Выбор величины производится в зависимости от конкретных требований к результатам эксперимента и обычно принимается равным 0,05; 0,02; 0,01; 0,001.
Если имеется несколько выделяющихся экспериментальных данных, необходимо определитьи S без этих данных, а затем оценить каждое из них по приведенной выше схеме.
В рассмотренном выше критерии при расчете и S исключается выделяющийся результат наблюдения, а затем делается оценка его случайности. Ирвин предложил критерий, при применении которого расчеты и S проводятся по всем данным эксперимента, а затем определяется случайность выделяющегося значения. Этот критерий основан на разности между хN и xN+1 результатов измерений, где хN и xN+1 два наибольших значения случайной величины. Функция:
Эта функция табулирована Ирвином (табл. 9) для различных надежностей.
Таблица 9
N |
0,95 |
0,99 |
2 3 10 20 30 50 100 400 1000 |
2,8 2,2 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 |
3,7 2,9 2,0 1,8 1,7 1,6 1,5 1,3 1,2 |
Если полученное значений больше значения, соответствующего, например, 0,95, то при данном N с вероятностью 0,95 исследуемое наблюдение случайно, если менее, то признавать случайным его нельзя, и следует отбросить.
Рассмотрим пример.
Пусть имеем результаты наблюдений, расположенные в возрастающем порядке: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 17. Определяем и S:
В примере xN+1 = 17; хN = 11.
Определяем:
По табл. 9 находим, что для ближайшего N = 10; 0,95 = 1,5. (0,95 = 1,5) ( = 1,6). Поэтому значение xN+1=17 необходимо отбросить.