2. Техника вычислений параметров эмпирического распределения

В зависимости от того, каким количеством цифр выражаются значения случайной величины, а также от объема выборки, может быть рекомендована различная техника вычисления параметров выборки.

А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами. Объем выборки n  25

В этом случае все значения случайных величин необходимо разбить на интервалы и произвести подсчет частот.

Последовательность вычислений рассмотрим на данных табл. 4. Для этого составляем табл. 5 и проводим некоторые вспомогательные вычисления, указанные в колонках 4, 5, 6 данной таблицы.

Таблица 5

Номер интервала	Середина интервала хi	Частоты mi	xi2	mixi	mixi2
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7	- 0,14 - 0,12 - 0,10 - 0,08 - 0,06 - 0,04 - 0,02	8 8 11 20 27 36 29	0,0196 0,0144 0,0100 0,0064 0,0036 0,0016 0,0004	- 0,42 - 0,96 - 1,10 - 1,60 - 1,62 - 1,44 - 0,58	0,0588 0,1152 0,1100 0,1280 0,0972 0,0576 0,0116
8 9 10 11 12 13 14	0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12	18 17 17 8 4 1 1	0 0,0004 0,0016 0,0036 0,0064 0,0100 0,0144	0 0,34 0,68 0,48 0,32 1,10 0,12	0 0,0068 0,0272 0,0288 0,0256 0,0100 0,0144
Сумма		200		- 5,68	0,6912

В конце колонок 3, 5, 6 проставлены суммы чисел соответствующих колонок.

N = m_i = 200; m_ix_i = - 5,68; m_ix_i² = 0,6912.

Ограничимся вычислением только х и S.

Вычисляем мм.

Вычисляем величину мм².

Вычисляем дисперсию мм².

Вычисляем среднее квадратическое отклонение:

мм.

Б) Значения выборки заданы многозначными величинами. Объем выборки n  25

В случаях, когда значения случайной величины (х_i) заданы тремя и более значными числами и объем выборки N25, расчет параметров целесообразно вести путем введения новой случайной величины

где х’_і - новая случайная величина;

h - величина интервала;

х_о - некоторое начальное значение (обычно принимают середину средних значений х_i).

Последовательность вычисления рассмотрим на примере табл. 6, взятом из [*]. Вычислим среднее значение, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

В табл. 6 через х_і обозначены середины интервалов.

____________________________________

* Длин А.М. Математическая статистика в технике, М., Советская наука, 1951.

Принимаем х_о = 36,5. Тогда .

Таблица 6

№	Интервалы	mi	xi	x'i	mix’i	mi(x’i)2	mi(x’i)3	mi(x’i)4
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1 2 3 4 5 6 7 8 9	27,5-29,5 29,5-31,5 31,5-33,5 33,5-35,5 35,5-37,5 37,5-39,5 39,5-41,5 41,5-43,5 43,5-45,5	3 9 23 33 38 34 21 8 1	28,5 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5	-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4	-12 -27 -46 -33 0 34 42 24 4	48 81 92 33 0 34 84 72 16	-192 -243 -184 -33 0 34 168 216 64	768 729 368 33 0 34 336 648 256
	Сумма	170			-14	460	-170	3172

Например, ; .

Вычисляем начальные моменты (а₁, а₂, а₃, а₄), равные:

;

Вычисляем центральные моменты (m₂, m₃, m₄),

m₂ = a₂ - a₁² = 2,706 - (- 0,082)² = 2,699;

m₃ = a₃ - 3a₁a₂ + 2a₁³ = - 1 - 3 (- 0,082) 2,706 + 2 (- 0,082)² = - 0,355;

m₄ = a₄ - 4a₁a₃ + 6a₁²a₂ - 3a₁⁴ = 18,659 - 4(-0,082)(- 1) +

+ 6(- 0,082)² 2,706 - 3(-0,082)⁴ = 18,439.

Вычисляем среднее значение и среднее квадратическое отклонение величины Х

Вычисляем показатель асимметрии

и показатель эксцесса (крутизна)