1.3.3. Хемминговы сферы, области декодирования и стандартная таблица

Стандартная таблица предоставляет удобный способ объяснения понятий Хемминговой сферы и корректирующей способности линейного кода С, введенной в Разделе 1.1.2.

Из конструкции стандартной таблицы видно, что j-ый столбец из 2^k правых столбцов таблицы, обозначаемый Col_j, 1 ≤ 2^k, содержит кодовое слово v_j С и множество 2^n-k слов, ближайших к нему по Хеммингову расстоянию, т.е.

(1.23)

Каждый столбец (1.23) представляет собой область декодирования j-ого кодового слова в Хемминговом пространстве. Таким образом, если по ДСК передано кодовое слово v_j С и принятое слово r принадлежит столбцу Col_j, то оно будет успешно декодировано в переданное слово v_j.

Граница Хемминга

Множество столбцов Col_j и корректирующая способность t кода С связаны между собой через Хеммингову сферу S_t(y_j) следующим образом: двоичный линейный (п, k, d) код С имеет корректирующую способность t, если каждая область декодирования Со1_j содержит Хеммингову сферу радиуса t, т.е. S_t(v_j) Col_j.

Учитывая, что каждая область декодирования содержит 2^n-k слов, и, используя уравнение (1.6), получаем знаменитую границу Хемминга

(1-24)

где

Граница Хемминга имеет несколько комбинаторных интерпретаций. Вот одна из них:

Число синдромов 2^n-k должно быть больше или равно числу исправляемых комбинаций ошибок,

Пример 7. Двоичный код (3,1,3) имеет порождающую матрицу G = (111) и проверочную матрицу

Соответственно, стандартная таблица имеет вид:

S	0	1
00	000	111
11	100	011
10	010	101
01	001	110

Четыре вектора во втором столбце таблицы (т.е. лидеры смежных классов) являются элементами Хемминговой сферы S₁(000), показанной на Рисунке 4. Этот столбец содержит все векторы длины 3 и веса 1 или меньше. Аналогично, третий столбец (правый) содержит все элементы S₁(111). Для этого кода граница Хемминга выполняется с равенством.

Блоковые коды, удовлетворяющие границе (1.24) с равенством, называются совершенными кодами. Нетривиальными совершенными кодами являются следующие:

- двоичные (2^т - 1, 2^т - т - 1, 3) коды Хемминга,

- недвоичные (q^т - 1)/(q - 1), (q^m - 1)/(q - 1) - т - 1, 3) коды Хемминга, q > 2.

- коды-повторения (n,1,n),

- коды с проверкой на четность (n,n-1,2),

- двоичный (23,12,7) код Голея и

- троичный (11,6,5) код Голея.

Расширенные, т.е. дополненные общей проверкой на четность, коды Хемминга и Голея тоже совершенны.

Для недвоичных кодов граница Хемминга имеет вид:

1.4. Распределение весов и вероятность ошибки

При выборе конкретной схемы кодирования очень важно иметь представление об ее помехоустойчивости. Известны несколько характеристик помехоустойчивости систем с исправлением ошибок. В этом разделе вводятся оценки для линейных кодов и трех базовых моделей каналов: модель ДСК, модель с аддитивным белым гауссовым шумом (АБГШ) и модель канала с общими Релеевскими замираниями.