Часть 4 недвоичные бчх коды -коды рида-соломона

В этой главе вводятся наиболее известные кодовые конструкции и объясняются алгоритмы их кодирования и декодирования. Коды Рида-Соломона (PC) нашли множество применений в системах цифровой памяти и связи. В качестве примеров упомянем знаменитый (255,223,33) код в системах космической связи НАСА (NASA), укороченные коды PC над GF(2⁸) в системах цифровой записи «компакт-диск» CD-ROM и DVD, а также в наземных цифровых системах HDTV (цифрового ТВ), расширенные (128,122,7) коды PC над GF(2⁷) для модемов на кабельных линиях, среди многих и многих других.

4.1. Коды pc как полиномиальные коды

Аналогично кодам Рида-Маллера коды PC можно определить как множество кодовых слов, компоненты которых равны значениям некоторых определенных многочленов. В действительности, это определение PC кодов принадлежит Риду и Соломону [RS]. Коды Рида-Маллера, конечно-геометрические коды [LC] и коды PC являются членами большого класса Полиномиальных кодов [PW] и тесно связаны с классом алгебро-геометрических (AG) кодов [Pre]. Обозначим

(4.1)

информационный полином с коэффициентами u_i GF(2^m), 10 < i < к. Очевидно, что всего имеется 2^тk таких многочленов. Вычисляя значения многочлена (4.1) для ненулевых элементов поля GF(2^m), получаем кодовое слово v кода PC с параметрами (2^m-l, к, d)

(4.2)

4.2. От двоичных кодов бчх к pc кодам

Коды PC можно также интерпретировать как недвоичные коды БЧХ. Можно сказать, что PC коды являются кодами БЧХ, значения кодовых символов которых взяты из поля GF(2^m). В частности, нулями PC кода, исправляющего t_d ошибок, являются 2t_d последовательных степеней примитивного элемента поля Галуа. Более того, так как над полем GF(2^m) минимальные многочлены имеют вид ф_i(х) = (х - аⁱ), 0 < i < 2^т - 1, (см. уравнение (3.9)) все делители порождающего код многочлена являются линейными (т.е. имеют степень 1) и

(4.3)

где b целое число, обычно 0 или 1.

Из (4.3) и границы БЧХ следует, что минимальное кодовое расстояние (n,k,d) PC кода над GF(2^m) удовлетворяет неравенству d ≥ n-k +1.Из границы Синглтона [Sin], утверждающей, что d ≤ п- к + 1, следует, что d = п — к+l. Коды, удовлетворяющие последнему равенству, называют МДР кодами (кодами с максимальным достижимым расстоянием) [Sin]. Таким образом, PC код является МДР кодом. Из этого следуют полезные свойства кодов PC. Одно из них состоит в том, что укороченные коды PC являются МДР кодами.

Изоморфизм между GF(2^m) и {0,1}^m означает, что любому двоичному т - вектору х_β может быть поставлен в соответствие элемент β GF(2^m),

Другими словами, т информационных бит можно сгруппировать в блок, образующий символ GF(2^m). Если элементы GF(2^m) рассматривать как векторы из т бит, то из кода PC получаем двоичный линейный код длины п = т(2^т — 1) и размерности k = т(2^т — 1 - 2t_d). Минимальное расстояние такого кода не меньше 2t_d. Такое двоичное отображение кода PC позволяет исправлять не только до t_d случайных (двоичных) ошибок, но и многократные случайные пакеты ошибок. Например, может быть исправлен любой однократный пакет ошибок длиной до m(t_d - 1) + 1 бит. Это следует из того, что пакет ошибок длины m(q — 1) + 1 или меньше покрывается не более q символами GF(2^m). Таким образом, коды PC способны исправлять многие комбинации случайных ошибок и пакетов ошибок. В этом основная причина огромной популярности кодов PC в практических системах.

Пример 40. Пусть т=3 и поле GF(2³) генерируется примитивным элементом α, удовлетворяющим условию р(α) = α ³ + а + 1 = 0. Пусть b = 0 и t_d = 2. Тогда имеется (7,3,5) код PC с порождающим полиномом

Отображением символов GF(2³) в вектора длины 3 получаем двоичный (21,9,5) код. способный исправлять до двух случайных ошибок и любой пакет до 4-х ошибок.