Технологический институт
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
В г.ТАГАНРОГЕ
________________________________________________________
Максимов М.Н.
Помехоустойчивое кодирование
Таганрог 2011
Глава3 4
Часть 1 введение 4
1.1. Кодирование для исправления ошибок: Основные положения 7
1.1.1. Блоковые и сверточные коды 7
1.1.2. Хеммингово расстояние, Хемминговы сферы и корректирующая способность 8
1.2. Линейные блоковые коды 11
1.2.1. Порождающая и проверочная матрицы 12
1.2.2. Вес как расстояние 13
1.3. Кодирование и декодирование линейных блоковых кодов 13
1.3.1. Кодирование с помощью матриц G и Н 13
1.3.2. Декодирование по стандартной таблице 15
1.3.3. Хемминговы сферы, области декодирования и стандартная таблица 19
1.4. Распределение весов и вероятность ошибки 21
1.4.1. Распределение весов и вероятность необнаруженной ошибки в ДСК. 21
1.4.2. Границы вероятности ошибки в ДСК, каналах с АБГШ и с замираниями 23
1.5 Общая структура жесткого декодера для линейных кодов 32
Вопросы для самоконтроля 33
Часть 2 коды хемминга, голея и рида-маллера 39
2.1. Коды Хемминга 39
2.1.1. Процедуры кодирования и декодирования 40
2.2. Двоичный код Голея 42
2.2.1 Кодирование 43
2.2.2. Декодирование 43
2.2.3. Арифметическое декодирование расширенного (24,12,8) кода Голея. 44
2.3. Двоичные коды Рида-Маллера 46
2.3.1. Булевы полиномы и РМ коды 46
2.3.2. Конечные геометрии и мажоритарное декодирование. 48
Вопросы для самоконтроля 54
Часть 3 двоичные циклические коды и коды бчх 54
3.1. Двоичные циклические коды. 55
3.1.1. Порождающий и проверочный полиномы. 55
3.1.2. Порождающий многочлен 56
3.1.3. Кодирование и декодирование двоичных циклических кодов. 57
3.1.4. Проверочный полином. 59
3.1.5. Укороченные циклические коды и CRC коды 62
3.2. Общий алгоритм декодирования циклических кодов 65
3.1.5 Пакеты ошибок 68
3.2.1. Арифметика GF(q) 70
3.3. Двоичные коды БЧХ 83
3.4. Полиномиальные коды 85
3.5. Декодирование двоичных БЧХ кодов 86
3.5.1. Общий метод декодирования для БЧХ кодов 88
3.5.2. Алгоритм Берлекемпа-Мэсси (ВМА) 89
3.5.3. Декодер PGZ 93
3.5.4. Евклидов алгоритм (ЕА) 95
3.5.5. Метод Ченя и исправление ошибок 97
3.5.6. Исправление стираний и ошибок 97
3.6. Распределение весов и границы вероятности ошибки 99
3.6.1. Оценка вероятности ошибки 101
Вопросы для самоконтроля 103
Часть 4 недвоичные бчх коды -коды рида-соломона 105
4.1. Коды PC как полиномиальные коды 105
4.2. От двоичных кодов БЧХ к PC кодам 106
4.3. Декодирование кодов PC 107
4.3.1. Комментарий к алгоритмам декодирования 112
4.3.2. Исправление ошибок и стираний 114
4.4. Распределение весов 119
Вопросы для самоконтроля 119
ГЛОССАРИЙ 120
ЛИТЕРАТУРА 121
Глава3 часть 1 введение
История кодов, исправляющих ошибки, началась с изобретения кодов Хемминга почти одновременно с появлением основополагающей работы Шеннона. Чуть позже были предложены коды Голея. Эти классы кодов являются оптимальными. Понятие оптимальности кода мы рассмотрим в последующих разделах.
На Рисунке 1 показана блок-схема канонической цифровой системы передачи или хранения информации. Это знаменитый Рисунок 1, с которого начинаются почти все книги по теории помехоустойчивого кодирования (в дальнейшем будет использоваться сокращение ЕСС со значением - помехоустойчивое кодирование, или кодирование с исправлением ошибок, или коды, исправляющие ошибки). Источник и получатель информации обычно включают какое-либо кодирование (преобразование) источника, соответствующее природе информации. Кодирующее устройство (кодер канала) системы помехоустойчивого кодирования получает информационные символы от источника и добавляет к ним избыточные символы таким образом, чтобы могла быть исправлена большая часть ошибок, возникающих в процессе модуляции сигналов, их передачи по каналу с шумом и демодуляции.
Рис. 1. Каноническая цифровая система связи.
Обычно предполагается, что в канале связи отсчеты аддитивного шумового процесса прибавляются к модулированным символам (рассматривается узкополосное комплексное представление сигналов). Отсчеты шума предполагаются независимыми от источника символов. Эту модель сравнительно легко исследовать. Она легко позволяет включить каналы с гауссовым шумом (АБГШ), каналы с общими Релеевскими замираниями, а также двоичный симметричный канал (ДСК). На приемной стороне декодирующее устройство (декодер канала) использует избыточные символы для исправления ошибок, внесенных каналом связи. В режиме обнаружения ошибок декодер ведет себя как кодер полученного из канала сообщения и проверяет совпадение вычисленных избыточных символов с принятыми.
В классической теории кодов, исправляющих ошибки, комплекс, включающий модулятор, демодулятор и шумовую среду распространения сигналов, называется дискретным каналом без памяти с входом v и выходом г. Примером такого канала является система передачи двоичных сигналов по каналу с АБГШ (аддитивным белым гауссовым шумом), который моделируется как двоичный симметричный канал с вероятностью ошибки (или вероятностью перехода) р равной вероятности ошибки на бит для двоичного сигнала в АБГШ,
(1.1)
где
(1.2)
является гауссовой Q-функцией и Еb/N0 есть отношение сигнал-шум (SNR) на бит. Этот случай будет исследован ниже в этой части.
В 1974 Мэсси предложил рассматривать помехоустойчивое кодирование (ЕСС) и модуляцию как единое целое, известное в современной литературе как кодовая модуляция (coded modulation) (Часто используется и несколько более точный термин — сигнально кодовая конструкция). Совместное конструирование кода и множества сигнальных точек обеспечивает более высокую эффективность и больший (энергетический) выигрыш от кодирования (coding gain) {Выигрыш от кодирования определен как разность между отношениями сигнал-шум системы с кодированием и системы без кодирования при одинаковой скорости (и одинаковой вероятности ошибки)}, чем последовательное применение ЕСС и модуляции. В этой пособии рассмотрены некоторые методы комбинирования кодирования и модуляции, включая: решетчатую кодовую модуляцию (ТСМ — trellis-coded modulation) in многоуровневую кодовую модуляцию (МСМ — multilevel coded modulation). В системах кодовой модуляции «мягкое решение» (soft decision) на выходе канала вводится непосредственно в декодер и обрабатывается им. Напротив, в классической системе с помехоустойчивым кодированием в декодер вводится «жесткое решение» (hard decision) демодулятора.
Коды, исправляющие ошибки, можно комбинировать различными способами. Примером последовательного каскадирования (serial concatenation, т.е. каскадная конструкция в классическом смысле) является следующая конструкция. Многие годы наиболее популярной каскадной схемой ЕСС была комбинация внешнего кода Рида-Соломона (PC), промежуточного перемежения (или перемешивания — interleaving) и внутреннего сверточного кода. Эта конструкция была использована во многих приложениях от систем космической связи до цифровых широковещательных систем телевидения высокой четкости. Основная идея состоит в том, что пакеты ошибок, которые появляются на выходе декодера сверточного кода с мягким решением, могут быть разбиты на мелкие части с помощью интерливинга и затем полностью исправлены декодером кода PC. Коды Рида-Соломона являются недвоичными кодами, каждый символ которых состоит из нескольких двоичных бит. Эти коды способны исправлять многократные пакеты ошибок. Преимуществом каскадной конструкции является то, что для нее требуются раздельные декодеры внутреннего и внешнего кодов вместо одного, но очень сложного декодера для каскадного кода в целом.
В пособии изучаются разные типы систем с ЕСС. Сначала рассматриваются базовые кодовые конструкции и алгоритмы их декодирования в Хемминговом пространстве (т.е. работающие с битами). Затем, во второй части пособия, вводятся алгоритмы декодирования с мягким решением для передачи двоичных сигналов, работающие в Евклидовом пространстве. В системах этого типа необходимая мощность передаваемых сигналов снижается на 2 дБ/бит по сравнению с декодерами в Хемминговом пространстве (с жестким решением). Рассматриваются декодеры с мягким решением нескольких типов. При этом основное внимание уделяется собственно алгоритмам (тому, как они работают), а не теоретическим вопросам (почему они работают).