б)
29.
а)
б)
30.
а)
б)
Задание 12.13
Решите задачу Коши.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
;
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 12.14
Найдите решение задачи Коши.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 12.15
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
. 5.
.
2.
. 6.
.
3.
. 7.
.
4.
. 8.
.
9.
. 20.
.
10.
. 21.
.
11.
. 22.
.
12.
. 23.
.
13.
. 24.
.
14.
. 25.
.
15.
. 26.
.
16.
. 27.
.
17.
. 28.
.
18.
. 29.
.
19.
. 30.
.
Задание 12.16
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Задание 12.17
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
Задание 12.18
Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка.
1)
9)
2)
10)
3)
11)
4)
12)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
16)
17)
24)
18)
25)
19)
26)
20)
27)
21)
28)
22)
29)
23)
30)
Задание 12.19
Решите системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 12.20
Решите системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1)
3)
2)
4)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
16)
9)
17)
10)
18)
11)
19)
12)
20)
21)
26)
22)
27)
23)
28)
24)
29)
25)
30)
Задание 12.21
Найдите решение задачи.
1. Пусть
N(t)
– количество
бактерий в сосуде. Известно, что
производная
(скорость размножения бактерий)
пропорциональна
с коэффициентом пропорциональности k.
Определить k,
если в 10 часов в сосуде было 2 000 бактерий,
а в 12 часов уже 32 000.
2. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью ординат относится к отрезку касательной между осями как 2:3.
3. В полностью заполненном баке находится 200 литров водного раствора соли с содержанием соли 40 кг. В 9.00 включается устройство, которое подает в бак 20 литров 10-процентного раствора соли в минуту. После мгновенного перемешивания столько же раствора выливается. Найти время, за которое в баке будет 12-процентный раствор соли.
4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 10), обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 9 см2.
5. Скорость остывания воды в чайнике пропорциональна разности температур чайника и кухни. Чайник выключился в 10.20 при температуре воды 100° С. В 10.30 температура воды в чайнике была
80° С. Найти время, за которое температура воды в чайнике будет равна 40° С, если температура воздуха на кухне 20° С.
6. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4; 2) и обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью абсцисс и перпендикуляром, проведенным из точки касания к оси Ох, есть величина постоянная, равная 4.
7. 1 января 1980 года было захоронено 2 500 кг радиоактивного вещества. На 1 января 2000 года от него осталось 2 000 кг. Сколько радиоактивного вещества будет в захоронении на 1 января 2300 года?
8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4) и обладающей тем свойством, что отношение длины радиус-вектора к длине отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, равно 3.
9. Пусть – количество бактерий в сосуде. Известно, что N(0)=20, N(10)=1 000, производная (скорость размножения бактерий) пропорциональна N(t). Определить момент времени, когда число бактерий будет равно 2 000 000.
10. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс относится к отрезку касательной между осями как 3:4.
11. Рыболовецкий бот движется по заливу со скоростью 25 км/ч. Через 1 минуту после остановки двигателя его скорость составила 15 км/ч. Считая, что сопротивление воды пропорционально квадрату скорости лодки, найти скорость лодки через 3 минуты после остановки двигателя.
12. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(3; 8), обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и абсциссой точки касания, есть величина постоянная, равная 10 см2.
13. Найти
N(t)
–
количество бактерий в сосуде, если
N(0)=10,
производная
(скорость размножения бактерий) равна
сумме двух слагаемых, одно из которых
равно
,
а другое –
.
14. Найти уравнение кривой, проходящую через точку (3; 4) и обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью ординат и перпендикуляром, проведенным из точки касания к оси Оу, есть величина постоянная, равная 5.
15. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что производная (скорость размножения бактерий) пропорциональна N(t) с коэффициентом пропорциональности k. Определить k, если в 13 часов в сосуде было 1 000 бактерий, а в 16 часов уже 25 000.
16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4; 2), обладающую тем свойством, что отношение длины радиус-вектора к длине отрезка, отсекаемого касательной на оси Ох, равно 2.
17. В полностью заполненном баке находится 300 литров водного раствора соли с содержанием соли 36 кг. В 10.00 включается устройство, которое подает в бак 10 литров 20-процентного раствора соли в минуту. После мгновенного перемешивания столько же раствора выливается. Найти время, за которое в баке будет 15-процентный раствор соли.
18. Найти все линии, у которых отрезок касательной между осями относится к отрезку касательной между точкой касания и осью ординат как 2:5.
19. Скорость остывания заготовки пропорциональна разности температуры заготовки и воздуха. Заготовка была отлита в 9.00 при нагреве ее на 300° С. В 9.40 температура заготовки была 120° С. Найти время, за которое температура заготовки будет равна 50° С, если температура в цехе 20° С.
20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1; 6), обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 8 см2.
21. 1 января 1990 года было захоронено 3 000 кг радиоактивного вещества. На 1 января 2000 года от него осталось 2 400 кг. Сколько радиоактивного вещества будет в захоронении на 1 января 2200 года?
22. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–3; 1), обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью абсцисс и перпендикуляром, проведенным из точки касания к оси Ох, есть величина постоянная, равная 5.
23. Пусть
N(t) – количество
бактерий в сосуде. Известно, что
,
производная
(скорость
размножения бактерий) пропорциональна
.
Определить
момент времени, когда число бактерий
будет равно 1 000 000.
24. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 3), обладающую тем свойством, что отношение длины отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, к длине радиус-вектора равно 2.
25. Пуля попадает в дерево со скоростью 500 м/с. Через одну сотую доли секунды ее скорость составила 400 м/с. Считая, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули, найти скорость пули через две сотых доли секунды после попадания в дерево.
26. Найти все линии, у которых отрезок касательной между осями относится к отрезку касательной между точкой касания и осью абсцисс как 3:5.
27. Найти
N(t) – количество
бактерий в сосуде, если N(0)=20,
производная
(скорость размножения бактерий) равна
сумме двух слагаемых, одно из которых
равно
,
а другое
28. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;5), обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и абсциссой точки касания, есть величина постоянная, равная 8 см2.
29. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что производная (скорость размножения бактерий) пропорциональна N(t) с коэффициентом пропорциональности k. Определить k, если в 10 часов в сосуде было 800 бактерий, а в 14 часов уже 20 000.
30. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 5), обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью ординат и перпендикуляром, проведенным из точки касания к оси Оу, есть величина постоянная, равная 4.
31. В полностью заполненном баке находится 150 литров водного раствора соли с содержанием соли 18 кг. В 16.00 включается устройство, которое подает в бак 5 литров 6-процентного раствора соли в минуту. После мгновенного перемешивания столько же раствора выливается. Найти время, за которое в баке будет 10-процентный раствор соли.
