3.1.5 Пакеты ошибок

Характерной особенностью циклических кодов является способность к распознаванию пакетов ошибок. Под пакетом ошибок понимается группирование ошибок в одной ограниченной области кодового слова (рис. 3.16). Пакет ошибок можно описать многочленом вида

. (3.75)

Е сли длина пакета ошибок не превосходит величины r = п — k, то степень многочлена ошибок меньше r. В этом случае е(Х) не делится на (Х) без остатка и синдром принятого слова всегда отличен от нулевого, следовательно, пакет ошибок длины равной или меньшей r всегда распознается. Из теоремы 3.6.1 следует, что распознается также любой циклический сдвиг многочлена В(Х) степени, меньшей r, т.е. и «концевой» пакет ошибок длины меньшей или равной r (рис. 3.17), всегда распознается.

Теорема 3.7.1. Циклический (п, k)-код способен обнаруживать все пакеты ошибок (в том числе концевые) длины r = п — k и меньше.

Помимо распознавания всех пакетов ошибок длины r и меньше циклические коды обладают способностью обнаруживать большую часть пакетов ошибок, длина которых превосходит r.

Рассмотрим пакет ошибок длины r + 1, начинающийся в j-ой компоненте. Так как первая и последняя компоненты пакета оши­бок отличны от нуля, всего имеется 2^r-1 возможных конфигураций ошибок. Необнаружимой является только одна из них, многочлен которой В(Х) совпадает с (Х), то есть

. (3.76)

Теорема 3.7.2. Для циклического (п, k)-кода доля необнаружимых пакетов ошибок длины l = r + 1 = п — k+1 равна 2^-(r-1).

Рассмотрим пакет ошибок длины l>r+1=n-k+1 начинающийся в j-ой компоненте. Если соответствующий многочлен В(Х) делится на (Х) без остатка, то есть

, (3.77)

то такой пакет не может быть обнаружен.

Пусть коэффициенты многочлена а(Х) степени l - r - 1 имеют вид a₀, a₁, ..., a_l-r1. Так как пакет ошибок начинается и заканчи­вается единицей, a₀ = a_l-r-1. Следовательно, существует 2^l-r-2 наборов коэффициентов а(Х), приводящих к необнаружимым ошиб­кам в (3.77). С другой стороны, существует 2^l-2 различных пакетов ошибок длины l и, таким образом, верно следующее утверждение.

Теорема 3.7.3. Для циклического (п, k)-кода доля необнаружимых пакетов ошибок длины l>r + l = n — k + 1 равна 2^-r.

Пример: Распознавание ошибок циклическим (7,4)-кодом Хэм­минга.

Рассмотрим циклический (7,4)-код Хэмминга из предыдущих при­меров с r = п — k = 3. Так как минимальное кодовое расстояние кода Хэмминга dmin = 3, он способен обнаруживать все двойные ошиб­ки или исправлять одиночные. Рассматриваемый (7,4)-код Хэммин­га является циклическим кодом и он способен также обнаруживать все пакеты длины r = 3. В частности, любые три следующие друг за другом ошибки всегда обнаруживаются.

Доля необнаружимых ошибок длины r + 1 = 4 равна 2^-(3-1) = 1/4. При пакетах ошибок с длиной большей 4, не распознается только 2^-3 = 1/8 из них.

Замечание. На практике, как правило, используются циклические коды с довольно большим числом проверочных разрядов, например, r = п — k = 16. Доля необнаружимых пакетов ошибок такими кодами достаточна мала. Так, при r = 16, обнаруживается более чем 99,9969 % пакетов длины 17 и 99,9984 % пакетов длины 18 и выше.