2.3 Проведение имитационного эксперимента

2.3.1. Фиксация и обработка результатов

Имитация – это эксперимент, который осуществляется при максимальном приближении к реальным условиям с учетом влияния различных случайных воздействий. В силу этого выходные характеристики модели носят случайный характер. На практике, исследуя случайные явления, эксперимент проводят насколько раз, а затем проводят статистическую обработку его результатов. Аналогичная ситуация имеет место и при имитации на ЭВМ. Ее повторяют многократно, получая всякий раз одну из возможных реализаций процесса. Количество реализаций, которое необходимо провести, рассчитывается по специальным правилам.

Для получения оценок характеристик применяются формулы математической статистики, приведенные к такому виду, когда для подсчета оценок требуется минимальное количество ячеек памяти. При этом, например, вероятность события оценивается относительной частотой наступления его в N реализациях: , где n - число наступлений событий. Очевидно, что для определения требуется всего две ячейки памяти: в одной суммируется n по принципу n=n+1, а в другой аналогично считается N.

Таким же методом строятся распределения случайных величин. При этом область определения случайной величины разбивается на подинтервалы одинаковой длины. Для каждого подинтервала отводится ячейка, где накапливаются значения - количество попаданий случайной величины в i-ый интервал. Тогда относительная частота попадания в i-ый интервал определяется следующим образом: . По значениям строится гистограмма, являющаяся аналогом плотности вероятности.

Для оценки среднего значения случайной величины X используется выборочное среднее:

_,

а в качестве оценки дисперсии - выборочная дисперсия:

_.

Формула вычисления дисперсии в целях экономии памяти приводится к следующему виду:

.

Аналогично при определении оценки корреляционного момента K_xy двух случайных величин X и Y следует воспользоваться не обычной формулой

,

а приведенной

.

2.3.2. Оценка числа реализаций при заданной точности

При имитационном моделировании для получения статистически достоверных результатов необходимо некоторое число N реализаций случайной величины X, причем, чем больше N, тем точнее оценки. Это число определяется либо предварительно и независимо от наблюдаемых результатов, либо в процессе моделирования с применением метода последовательного анализа.

Первый метод считается классическим, хотя он менее эффективен, чем второй. Сущность метода состоит в следующем. Предполагается, что задачей имитации является определение среднего значения случайной величины X.

Оценку среднего значения можно рассматривать как значение случайной величины:

_,

где x_i - независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестным математическим ожиданием a и дисперсией . Для достаточно больших N, пользуясь результатом центральной предельной теоремы, можно утверждать, что:

_.

Тогда

_.

Задается надежность  и накладывается условие:

_.

Величину t_ легко определить по таблицам функций Лапласа. Тогда точность оценки удовлетворяет условию:

.

Так как точность решения  должна быть задана, получается:

,

откуда требуемое число реализаций:

. (2.1)

Если целью имитации является оценка вероятности, то число реализаций определяется аналогично. В качестве оценки неизвестной вероятности события p(A) используют величину:

.

Вводя в рассмотрение величину X_i - число наступлений событий A в i-ой реализации, (X_i равно 0 с вероятностью 1–Р и равно 1 с вероятностью Р) можно получить

_{M[Xi]=Р; D[Xi]=Р(1–Р).}

Легко показать, что .

В силу центральной предельной теоремы для достаточно больших N

.

Тогда по заданной надежности  по таблицам функции Лапласа легко определить t_ из условия .

Отсюда

(2.2)

При использовании формул (2.1) и (2.2) для определения N требуется знать истинные значения и Р, которые обычно неизвестны. Поэтому задаются произвольным числом реализаций, имитируют процесс и определяют оценки и величин и Р. Далее, используя эти оценки, по формулам (2.1) и (2.2) определяется уточненное значение N. Аналогично определяется число реализаций, необходимое для обеспечения заданной точности любых других оценок: дисперсии, корреляции и т.д.

Второй путь определения числа реализаций базируется на использовании последовательного анализа. В этом случае после каждой реализации с помощью последовательного критерия Вальца принимается решение об окончании процесса или его продолжении. В общих чертах процедура сводится к сравнению совокупных результатов с некоторой допустимой областью значений, при которых эти результаты обеспечивают желаемый уровень значимости. В том случае, когда результаты попадают в допустимую область, процесс останавливается. Допустимая область значений находится с помощью последовательного критерия Вальца. При использовании последовательного анализа процесс получения результатов требует меньшего числа реализаций, чем при использовании классическом методе. Однако, при этом заранее неизвестно требуемое число реализаций.