3.3.Методы исследования смо с произвольными потоками заявок

Методы исследования СМО с простейшими потоками заявок позволяют исследовать достаточно разнообразные СМО. Однако, эти методы являются недостаточными при исследованиях СМО с приоритетными дисциплинами, т.к. эквивалентные схемы «размножения и гибели» имеют большую размерность, и исследованиях реальных СМО, в которых потоки обслуживания отличается от простейших. Для СМО с простейшими потоками для определения характеристик достаточно знать состояния системы, связанные с числом заявок в текущий момент времени. В случае отказа от простейшего типа потоков этой характеристики становится недостаточно, т.к. процессы в СМО становятся немарковскими и не будут обладать свойством отсутствия последствия и необходимо знать временную характеристику , как время прошедшее с начала обслуживания до характерного для данной системы состояния, называемого особым состоянием. Таким образом при произвольном потоке обслуживания состояния системы описываются совокупностью двух переменных . Особые состояния можно задавать по-разному. Если в качестве особого состояния выбрать моменты окончания обслуживания заявки, , т.к. обслуживание новой заявки только начинается, и для задания характеристик системы достаточно знать число заявок поступивших в систему за время от t_i до t_i+1:

где - число заявок на момент времени ;

- число заявок, поступивших в систему за время от t_i до t_i+1. Такая модель удобна для описания систем, в которых характеристики связаны с числом заявок, например требуется определить среднею длину очереди и т.п.

В тех случаях, когда необходимо определить временные характеристики удобнее рассматривать состояния системы в момент поступления заявок. Для определения состояния используется функция , которая связана как с числом заявок в системе в данный момент времени, так и со временем . Величина называется незавершенной работой, так как число заявок, уменьшенное на единицу, характеризует объем незавершенной работы системы по обслуживанию заявок, находящихся в очереди, а характеризует незавершенную работу системы по дообслуживанию заявок, находящихся в момент времени t, в канале обслуживания . Промежуток времени, в течение которого называется периодом занятости, а промежуток времени, соответствующий - периодом простоя.

Графическая иллюстрация чередования переходов занятости и простоя показана на рис. 3.12.

В момент времени t=1 поступает заявка и приносит работу , т.е. время необходимое для ее обслуживания. До поступления заявки система была свободна и . При поступлении заявки незавершенная работа изменяется скачком до , и начинается обслуживание заявки, при этом незавершенная работа убывает и через время становится равной нулю и начинается период простоя. В момент t=2 поступает заявка и начинается новый период занятости.

Рис.3.12.

Если во время обслуживания приходит заявка , она становится в очередь и ждет окончания обслуживания .

Случайный процесс, описываемый функцией , является марковским с непрерывными состояниями и непрерывным временем, держащий разрывы, и называются вложенными цепями Маркова. Такие модели используются для исследования СМО с приоритетными дисциплинами обслуживания, поскольку предположения о простейших потоках заявок в приоритетных системах приводят к увеличению размерности модели и трудностям при определении вероятностей состояния.

3.3.1.Многомерные СМО

Рассмотрим СМО с произвольным потоком обслуживания. В системе циркулирует М типов заявок, упорядоченных в порядке убывания приоритета N, причем N=M. Заявка имеет наивысший приоритет, если N минимально, с ростом N приоритет заявки уменьшается. Будем считать, что заявки назначаются на обслуживание в порядке поступления их в систему и рассмотрим характеристики системы, относящиеся как к суммарному входящему потоку, так и к каждому типу заявок:

1. среднее время ожидания заявки:

;

(так как рассматриваемая система не имеет потерь, то можно использовать формулу Литтла); здесь - вероятность того, что поступившая в произвольный момент времени заявка относится к i-тому типу;

2. среднее время пребывания заявки в системе:

;

3. средняя длина очереди:

;

4. среднее число заявок в систему:

,

где - число каналов, занятых обслуживанием заявок i-того типа.

(так как рассматриваемая СМО не имеет потерь, среднее число каналов количественно совпадает с приведенной интенсивностью потока заявок i-того типа. );

5. Среднее число занятых каналов:

т.к. система одноканальная, то ее загрузка количественно совпадает с суммарной приведенной интенсивностью входящего потока R:

6. .

Для существования установившегося режима в рассмотренной СМО необходимо выполнение условия R<1, т.к. в противном случае неограниченно возрастает очередь и время на ожидания и пребывания заявок в системе.

3.3.2.Многомерные СМО с бесприоритетными дисциплинами

Простейшим случаем многомерных СМО являются одноканальная СМО с бесприоритетными дисциплинами ожидания и обслуживания, у которой входящий поток является простейшим с экспоненциальным законом распределения интервалов времени между моментами поступления заявок и характеризуется интенсивностью , где M – это число типов входящих в потоков (число приоритетов). Поток обслуживания имеет произвольный закон распределения и для каждого i-того типа известна интенсивность обслуживания : .

Предположим, что известны первый и второй начальные моменты распределения времени обслуживания заявки k-того типа:

; .

Исследуем свойства такой системы. Для произвольной заявки i-того типа, поступившей в систему вероятность застать систему занятой по значению равна суммарной приведенной интенсивности входящего потока R.

Рассмотрим время ожидания произвольной заявки i-того типа, поступившей в систему и заставшей ее занятой, с вероятностью .

Очевидно, что это время складывается из незавершенной работы Y по дообслуживанию заявки, находящейся в канале обслуживания и времени, необходимого системе для обслуживания всех заявок всех типов, поступивших в СМО ранее рассматриваемой заявки. Поскольку рассматриваются бесприоритетные системы, то выборка заявок из очереди на обслуживание ведется в порядке поступления заявок.

Итак,

,

где – суммарное время, необходимое каналу для обслуживание заявок j-того типа, поступивших в систему до рассматриваемого момента и находящихся в очереди;

Y – время, необходимое для завершения обслуживания заявки, находящийся в рассматриваемый момент времени на обслуживании (время дообслуживания).

Усредним обе части равенства по времени:

;

Для обслуживания всех находящихся в очереди заявок j-того типа каналу обслуживания требуется время

;

(для СМО без потерь средняя длина очереди заявок j-того типа связана со средним временем ожидания заявок того же типа ). Тогда

;

откуда

Получена система линейных алгебраических уравнений относительно , (i=1,2,…,M). Вычитая последнее из уравнений этой системы (i=M) из (М-1) первых уравнений, получим . Отсюда следует, что бесприоритетные дисциплины обслуживания уравнивают времена ожидания заявок разных типов:

,

Предположим, что в момент прихода в систему заявки произвольного типа в канале обслуживания находилась заявка k-того типа, для которой среднее время дообслуживания

.

Поскольку для произвольной заявки, пришедшей в систему, вероятность застать в канале обслуживания заявку k-того тапа пропорциональна , то, усредняя по всем типам заявок, для произвольной заявки получим:

и среднее время ожидания заявки произвольного типа:

.

Учитывая, что произвольная заявка, поступившая в систему в момент обслуживания застает ее занятой с вероятностью , можно записать:

.

Если выразить второй начальный момент через дисперсию, математическое ожидание и коэффициент вариации, то

,

где - коэффициент вариации, характеристика, показывающая степень нерегулярности потока заявок. Тогда среднее время ожидания:

.

Среднее время ожидания заявки в очереди минимально для регулярного потока обслуживаний заявок всех типов ( и увеличивается по мере роста дисперсии длительности обслуживания. Для простейшего потока (ν_k = 1) среднее время ожидания максимально.

Для простейшего потока обслуживаний Среднее время ожидания вдвое больше, чем для регулярного потека обслуживаний, если МО длительности обслуживания считать неизменным. Среднее время ожидания существенно зависит от суммарной приведенной интенсивности входящего потока R. При R->1 загрузка ->1 и время ожидания заявки ->, т.е. заявки могут ждать обслуживания сколько угодно долго.

Время пребывания (время реакции) заявки i-того типа в системе складывается из время ожидания и времени обслуживания . Т.к. при бесприоритетных дисциплинах ожидания и обслуживания время ожидания не зависит от типа заявки среднее время пребывания

.

При одинаковых средних временах ожидания заявки разных типов будут иметь разные времена пребывания в системе.

3.3.3.Многомерные СМО с относительными приоритетами.

Введем относительные приоритеты заявок. Поскольку СМО без потерь, дисциплина ожидания не влияет на показатели эффективности СМО. Поэтому будем считать дисциплину ожидания бесприоритетной. Заявки занимают место в очереди в порядке поступления их в систему.

Очереди для заявок различных приоритетов считаются независимыми с неограниченным числом мест (рис.3.13). Если заявка k-того приоритета не может быть в момент поступления в систему поставлена на обслуживание, она занимает последнее место в соответствующей очереди .

Дисциплиной обслуживания с относительными приоритетами называется приоритетная дисциплина без прерывания обслуживания. Относительные приоритеты заявок учитываются в момент выбора для назначения на обслуживание. В момент выбора сравниваются приоритеты заявок, находящихся в состоянии ожидания, и канал обслуживания предоставляется первой заявке в непустой очереди с наиболее высоким приоритетом, например, с приоритетом 4. Если в процессе обслуживания этой заявки в системе появляются новые заявки с приоритетами 5,2,1, то ни одна из них, даже обладающая более высоким приоритетом, не нарушит начатого процесса обслуживания заявки с приоритетом 4.

Рис.3.13

Рассмотрим систему в моменты поступления заявок. Вероятность застать систему занятой, как и в предыдущем случае, определяется суммарной приведенной интенсивностью входящего потока R. Если на вход поступила заявка k-того приоритета, то время ожидания задержанной, т.е. действительно попадающей в очередь заявки:

,

где - незавершенная работа системы с приоритетом k и выше – часть общей незавершенной работы системы, состоящая из времени дообслуживания Y заявки, находящейся в рассматриваемый момент времени в канале, и времени, необходимого каналу обслуживания для обслуживания всех ранее поступивших заявок данного и более высоких приоритетов ;

- приращение работы системы с приоритетом (k-1) и выше за время ожидания рассмотренной заявки, равное сумме длительности обслуживания заявок с более высоким приоритетом, которые дополнительно поступают в систему за время ожидания и будут в соответствии с принятой дисциплиной обслужены ранее рассматриваемой заявки.

Усредняя обе части равенства аналогично бесприоритетным дисциплинам, получим:

;

откуда

;

где - суммарная приведенная интенсивность потока заявок с приоритетами k и выше.

Среднее время ожидания заявки с высшим приоритетом k=1:

.

Это соотношение используется для отыскания :

;

.

Подставив значение , получим среднее время ожидания задержанной заявки k-го приоритета:

;

где - суммарная приведенная интенсивность потока заявок с приоритетами (k-1) и выше.

Учитывая вероятность занятости системы в момент поступления в нее очередной заявки, получаем среднее время ожидания произвольной заявки k-го приоритета:

.

Из этого соотношения следует, что среднее время ожидания заявок монотонно возрастает с уменьшением приоритета.

Т.е., введение относительных приоритетов по сравнению с бесприоритетным обслуживанием приводит к уменьшению времени ожидания заявок с высокими приоритетами и увеличивает время ожидания заявок с низкими приоритетами.

3.3.4.Многомерные СМО с абсолютными приоритетами

Дисциплину обслуживания с абсолютным приоритетом называют приоритетной дисциплиной с прерыванием обслуживания.

Ординарной штриховкой (рис.3.14) показаны заявки, ожидающие начала обслуживания, а двойной – заявки, обслуживание которых было прервано (прерванные заявки).

Дисциплина ожидания бесприоритетная в порядке поступления, заявки k-того абсолютного приоритета размещаются в очереди .Если канал занят обслуживанием заявки с абсолютным приоритетом i и на вход системы поступает заявка с абсолютным приоритетом j, то при заявка становится в конец очереди , при обслуживание заявки прерывается, прерванная заявка становится в начало очереди , отодвигая находящуюся в ней заявки на одну позицию назад, канал обслуживает заявку .

Продолжение обслуживания прерванных заявок может происходить двумя способами:

1. от начала - повторное обслуживание;

2. от момента прерывания - дообслуживание;

В вычислительных системах используется второй способ, для реализации которого в момент прерывания необходимо сохранять всю информацию о текущем состоянии процесса обслуживания, требуемую для продолжения обслуживания.

Среднее время ожидания заявки k-того типа в общем случае складывается из двух составляющих

,

где - среднее время ожидания начала обслуживания;

- среднее время ожидания в прерванном состоянии.

Рис.3.14

Первую составляющую можно рассматривать как среднее время ожидания задержанной заявки самого низкого приоритета в системе с относительными приоритетами, на вход которой поступает k потоков заявок с приоритетами 1,2,…,k. Действительно, т.к. в исходной системе заявки k-го приоритета прерывают обслуживание заявок с приоритетами k+1, k+2, …, M, то последние не оказывают влияния на время ожидания задержанной заявки k-того приоритета; в расчет должны приниматься только заявки с приоритетом k и выше.

Таким образом,

,

где .

Для определения второй составляющей будем рассуждать следующим образом. Составляющая времени ожидания связана с процессом обслуживания, который в системе без потерь не зависит от того, в каком состоянии, занятом или свободном по отношению к заявкам k-го приоритета застала рассматриваемая заявка систему в момент поступления. Поэтому время будет одинаковым как для задержанной заявки, так и для заявки, заставшей систему свободной (по отношению к заявкам k-го приоритета) и немедленно поставленной на обслуживание. За время обслуживания заявки k-того приоритета в систему поступит в среднем заявок с более высоким приоритетом i, i=1,…,k-1, которые будут обслуживаться раньше рассматриваемой заявки и потребуют время, в среднем равное:

.

Среднее время обслуживания всех заявок с более высоким приоритетом, чем k, поступивших за время

.

За это время в систему поступят еще заявок с более высоким приоритетом i, (i=1,…,k-1), чем k:

,

требующие время обслуживания

.

Среднее время обслуживания всех заявок с более высоким приоритетом, чем k, поступивших за время ,

и т.д.

Для l-го шага справедливо соотношение

.

Среднее время ожидания заявки k-го типа в прерванном состоянии , равно среднему времени обслуживания всех заявок более высокого приоритета, чем k, поступающих в систему за время обслуживания заявки k-го приоритета:

.

Окончательно, учитывая вероятность занятости системы по отношению к заявкам k-го приоритета, получим среднее время ожидания произвольной заявки с абсолютным приоритетом

.

Для сравнения можно привести качественное соотношение времени ожидания при трех различных дисциплин обслуживания (рис.3.15).

Рис.3.15

В случае приоритетных дисциплин обслуживания время ожидания одних типов заявок сокращается за счет увеличения времени ожидания заявок других типов. Для m=1 в СМО без потерь, с простейшими входящими потоками, экспоненциальным распределением длительности обслуживания, если допускается прерывание обслуживания, справедлив закон сохранения времени ожидания: для любой дисциплины обслуживания выполняется соотношение

.