- •Учебное пособие
- •Учебное пособие
- •1. Общие вопросы моделирования систем
- •1.1. Предмет теории моделирования. Объект и модель
- •1.2 Классификация моделей
- •1.3. Основные этапы моделирования
- •2. Имитационное моделирование вычислительных систем
- •2.1. Разработка имитационной модели
- •2.1.1. Упрощение модели и выбор уровней детализации
- •2.2. Обобщенные алгоритмы имитационного моделирования
- •2.3 Проведение имитационного эксперимента
- •2.3.3 Генерирование случайных воздействий
- •2.4. Имитация функционирования системы
- •3. Моделирование систем массового обслуживания
- •3.1.Марковские системы и их математические модели
- •Приведем еще один пример. Пусть некоторая техническая система состоит
- •3.2.Методы исследования смо с простейшими потоками заявок
- •3.3.Методы исследования смо с произвольными потоками заявок
- •Контрольные вопросы к разделу
- •424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3.
- •424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17.
3.2.Методы исследования смо с простейшими потоками заявок
Этот тип СМО наиболее изучен и просто описывается математическими выражениями. Считается, что все потоки, циркулирующие в СМО, являются простейшими: входной поток, поток уходов, поток выталкиваний, поток отказов, поток обслуживания и выходящий.
3.2.1.СМО с отказами
Этот тип СМО отличается тем, что отсутствует очередь, поэтому заявка, пришедшая в систему и заставшая все каналы обслуживания занятыми, получает отказ и покидает систему не обслуженной.
Дисциплины ожидания и обслуживания считаются бесприоритетными.
Одноканальная СМО с отказами. Наиболее простой системой является одноканальная СМО с отказами – М/М/1. Она имеет один канал обслуживания, входящий поток характеризуется интенсивностью , поток обслуживания – интенсивностью . Основными характеристиками такой системы являются абсолютная и относительная пропускная способность.
Абсолютная пропускная способность – это интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (об).
.
Для того, чтобы определить СМО, нужно: обозначить все её состояния и их количество, задать интенсивность всех возможных переходов между состояниями и начальное состояние.
Рассматриваемая СМО имеет всего два состояния: Z0 – система свободна, заявок нет, канал обслуживания простаивает; Z1 – в системе находится одна заявка, которая занимает канал обслуживания, это состояние занятости системы.
В соответствии с таким заданием системы её граф будет иметь вид, показанный на рис. 3.5
Рис. 3.5
Переходу из состояния Z0 в Z1 соответствует поступление заявки на вход системы с интенсивностью , а переходу из Z1 в Z0 соответствует выход обслуженной заявки из системы. С интенсивностью обслуживания .
Уравнение Колмогорова можно записать так:
; ;
Учитывая условие нормировки и стационарный режим работы СМО, получим: ;
Из этой системы определяются вероятности P0 и P1: ; ;
Так как P0 – это вероятность простоя системы, одновременно это и вероятность того, что система может принять заявку на обслуживание, т.е. вероятность обслуживания P0=Pоб; а P1 – это вероятность занятости канала, одновременно это и вероятность того, что СМО не может принять новую заявку на обслуживание, т.е. вероятность отказа P0=Pотк;
Многоканальная СМО с отказами. Система характеризуется отсутствием очереди, наличием m каналов обслуживания, причём все каналы обслуживают заявки с одинаковой интенсивностью , т.е. являются универсальными. Входящий поток имеет интенсивность , заявки бесприоритетные. Как и в предыдущем случае состояния такой системы определяются количеством связных с ней заявок, т.е.:
Z0 – заявок нет система свободна;
Z1 – в системе находится одна заявка, занимающая один канал обслуживания;
…
Zm – в системе находятся m заявок, занимающие все каналы обслуживания.
Переходы между состояниями Z0-Z1-Z2-… происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью . Переходы Zm-Zm-1-… происходят под воздействием потока обслуженных заявок, с интенсивностью пропорциональной числу каналов обслуживания.
Граф состояний системы имеет вид (рис. 3.6.)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
2 k (k+1) m
Рис.3.6.
По графу составляются система уравнений Колмогорова:
Поскольку граф представляет собой модель размножения и гибели, для нахождения вероятностей состояний можно использовать формулы Эрланга:
;
;или;
где - приведённая интенсивность входящего потока, - число заявок, поступающих на вход системы за время обслуживания одной заявки; для системы в стандартном режиме всегда <1.
Характеристиками данной системы являются:
-
вероятность отказа, то есть вероятность того, что все каналы
заняты: ;
-
вероятность обслуживания Pоб=1-Pотк=1-Pm;
-
абсолютная пропускная способность: ;
-
среднее число занятых каналов; его можно рассматривать как интенсивность потока обслуженных заявок, отнесённую к интенсивности обслуживания: ;
-
загрузка канала – среднее число занятых каналов, отнесённое к количеству каналов: .
3.2.2.СМО с ожиданием
Этот вид СМО характеризуется наличием очереди, т.е. , поступившая на вход системы заявка, либо сразу назначается на обслуживание, если хотя бы один канал свободен, либо, в противном случае, становится в очередь с числом мест n, заявка получает отказ и покидает систему не обслуженной только в том случае, если все каналы обслуживания и очередь заняты. Дисциплины ожидания и обслуживания считаются бесприоритетными.
Одноканальная СМО с ожиданием (М/М/1).
Поток входящих заявок пуассоновский с интенсивностью , интенсивность обслуживания .
Такая система может находиться в (n+2) состояниях:
Z0 – система свободна, очереди нет, канал обслуживания простаивает;
Z1 – одна заявка находится в канале обслуживания, очереди нет;
.
.
.
Zn+1 – одна заявка находится в канале обслуживания и в очереди находятся n заявок.
Граф переходов описанной системы показан на рис.3.7.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Рис.3.7.
Данная модель - это частный случай модели, «размножения и гибели», поэтому для нахождения вероятностей состояний используются формулы Эрланга:
; и .
Основные характеристики данной системы:
-
вероятность отказа – это вероятность того, что единственный канал обслуживания и n мест в очереди заняты т.е. это вероятность состояния Zn+1:
-
вероятность обслуживания или относительная пропускная способность: ;
-
абсолютная пропускная способность – интенсивность покоя обслуженных заявок: ;
-
средняя длина очереди определяется по стандартной формуле для математического ожидания дискретной случайной величины с учётом вероятностей состояний и связи номера состояния с числом мест в очереди:
-
среднее число заявок в системе: ;
-
среднее время ожидания:
Если СМО имеет неограниченную очередь (), то стационарный режим устанавливается только при выполнении условия <1, т.к. в противном случае очередь неограниченно возрастает. Если же <1, то и .
При бесконечной очереди любая заявка, поступившая в систему обязательно будет обслужена, поэтому абсолютная пропускная способность равна λ. Характеристиками таких СМО являются:
-
вероятность отказа - Pотк=0;
-
вероятность обслуживания - Pоб=1 ;
-
средняя длинна очереди: - ;
-
среднее время ожидания - ;
-
среднее число заявок в системе - ;
-
среднее время пребывания заявки в системе - .
Многоканальная СМО с ожиданием (М/М/m).
В системе имеется m каналов обслуживания и очередь с числом мест n, с каждого из которых заявка может поступать на любой освободившийся канал. Все потоки заявок, циркулирующие в системе – простейшие, с экспоненциальным законом распределения интервалов времени. Интенсивность входящего потока - заявок/ед.вр, интенсивность потока обслуживания заявок/ед.вр. Дисциплины ожидания и обслуживания бесприоритетные. Заявка, поступившая на вход системы назначается на обслуживание, если хотя бы один из m каналов свободен. Если каналы обслуживания заняты, заявка поступает в очередь и ждёт начала обслуживания. Если все n мест в очереди заняты, заявка получает отказ и уходит из системы не обслуженной. Как и прежде, будем связывать состояние системы с числом находящихся в ней заявок, т.е.:
Z0 – состояние простоя (нет заявок, каналы простаивают, очередь отсутствует);
Z1 – в системе одна заявка, её обслуживает один канал, остальные (m-1) каналов свободны; очереди нет;
…..
Zm – очереди ещё нет, в СМО m заявок, все каналы заняты обслуживанием;
Zm+1 – все m каналов обслуживания заняты и одна заявка находится в очереди;
…..
Zm+n – все m каналов обслуживания заняты и все n мест в очереди заняты;
В состоянии Zm+n система не способна принять ни одной заявки, все вновь пришедшие заявки получат отказ.
Переходы между состояниями будут происходить под действием входящего потока заявок и потоков обслуживания.
Граф состояний системы показан на рис.3.8.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
2 m m m
Рис.3.8.
Если все каналы заняты, интенсивность обслуживания равна m, в противном случае она пропорциональна количеству каналов, занятых обслуживанием.
Данная модель относится к модели «Размножения и гибели», поэтому для определения вероятностей состояния системы можно использовать формулы Эрланга:
; 1≤k≤m;
; k>m;
.
Характеристиками данной системы являются:
-
вероятность отказа – это вероятность того, что пришедшая в систему заявка получит отказ, т.е. это вероятность состояния Zm+n: ;
-
вероятность обслуживания или относительная пропускная способность: ;
-
абсолютная пропускная способность или интенсивность потока обслуживания: ;
-
средняя длина очереди:
-
среднее время ожидания заявки в очереди – tож. Для определения tож необходимо рассмотреть всевозможные гипотезы о том, в каком состоянии застанет систему вновь прибывшая заявка и сколько времени ей придётся ждать обслуживания с учётом бесприоритетных дисциплин ожидания и обслуживания. В частности, если заявка застанет систему в одном из состояний Z0, Z1,… Zm-1, когда очередь и каналы свободны, ей не придётся ждать начала обслуживания и tож =0. Если заявка застает систему в состоянии Zm, когда все каналы заняты обслуживанием, заявка занимает первое место в очереди и ждёт окончания обслуживания в одном из каналов.
Суммарный поток обслуживания при полностью загруженных каналах складывается из m простейших потоков обслуживания с одинаковой для всех каналов интенсивностью , следовательно, суммарный поток имеет интенсивность m. Время ожидания заявки в среднем равно , причём, вероятность этого события Pm. Если вновь пришедшая заявка застаёт систему в состоянии Zm+1, она занимает второе место в очереди и будет ждать в среднем единиц времени. В состоянии Zm+n-1, когда СМО ещё может принять заявку, время ожидания заявки равно
В состоянии Zm+n заявка получает отказ и время ожидания равно нулю tож=0. Среднее время ожидания можно найти по формуле математического ожидания для дискретной случайной величины:
6). - среднее время пребывания заявки в системе;
7) - среднее число заявок в системе;
8) среднее число занятых каналов: ..
Если принять длину очереди неограниченной , любая заявка, поступившая на вход системы, рано или поздно будет обслужена («Чистая» СМО).
Предельные вероятности состояний:
(k=1,2,…,m);
(l=1,2,…,);
.
Установившийся режим в такой системе существует, если ,
т.к. в противном случае каналы обслуживания не будут справляться с потоком заявок очередь будет неограниченно возрастать.
При и формулы для характеристик существенно упрощаются:
.
В «чистой» СМО потери отсутствуют, поэтому Pоб=1, об=, Ротк=0;
-
среднее время ожидания ;
-
среднее время обслуживания ;
-
среднее время пребывания заявки в системе ;
-
средняя длина очереди ;
-
среднее число занятых каналов .
Полученные соотношения удобны в том случае, когда число мест в очереди значительно превышает среднюю длину очереди.
3.2.3.СМО с «нетерпеливыми» заявками
На практике часто встречаются СМО, в которых заявки могут уйти из системы, не дождавшись начала обслуживания или во время обслуживания, если время пребывания в системе превышает некоторую величину τдоп (заявка находится в СМО до тех пор, пока τдоп > tож или τдоп > tс).
Для вычислительных систем примером такой ситуации может служить старение информации.
В
можно ввести интенсивность ν = . Заявки могут уходить как из очереди, если tож > τдоп, так и из каналов обслуживания, если tож ≤ τдоп. Обычно считается, что интенсивности этих уходов одинаковы и составляют νож = νоб = ν = . В качестве базовой модели для СМО с «нетерпеливыми» заявками выберем M/M/m с ожиданием. Процессы в системе определяются входящим потоком заявок с интенсивностью λ, потоком обслуживания с интенсивностью μ, потоком уходов из очереди с интенсивностью νож из каналов обслуживания с интенсивностью νоб.
Граф системы показан на рисунке 3.9.
… …
… …
1(μ+νоб) 2(μ+νоб) m(μ+νоб) m(μ+νоб)+1νож m(μ+νоб)+nνож
Рис.3.9.
Переходы из состояний, соответствующих отсутствию очереди, в соседние слева состояния происходят под воздействием двух независимых потоков событий: потока обслуживания с интенсивностью μ и потока ухода «нетерпеливых» заявок с интенсивностью νоб. Т.к. процессы в различных каналах обслуживания независимы, суммарная интенсивность переходов связана с числом занятых каналов и равна k( μ + νоб). Интенсивность переходов при наличии очереди складывается из 2-х составляющих:
суммарной интенсивности переходов за счет потоков обслуживания и уходов заявок из каналов ‑ m( μ + νоб) и суммарной интенсивности переходов за счет независимых уходов «нетерпеливых» заявок из очереди и пропорциональной длине очереди n.
Т .к. граф на рис.3.9. – модель «размножения и гибели», используются формулы Эрланга для нахождения вероятностей состояний:
Е сли привести интенсивность уходов из очереди и из каналов к интенсивности обслуживания:
В ероятность P0, определяемая из условия нормировки,
В данной СМО потери заявок возможны либо за счет отказов вследствие переполнения системы, либо в форме ухода «нетерпеливых» заявок из системы.
Определяющей характеристикой системы является не вероятность отказа, а вероятность потерь.
В ероятность отказов можно определить как вероятность состояния Zm+n:
Т к. уходы заявок из очереди и каналов обслуживания – несовместимые события, то:
И з общих формул для характеристик можно получить характеристики СМО следующих частных случаев:
-
з аявка может покинуть систему во время обслуживания
-
заявка может покинуть систему, находясь в очереди
(прерывания обслуживания не допускается)
Остальные характеристики СМО определяются, как и в предыдущих случаях:
3.2.3.Замкнутые СМО
Замкнутые СМО отличаются тем, что число заявок, циркулирующих в них, постоянно, и характеристики системы определяются не только числом заявок, находящихся в ней, но и состоянием системы в данный момент времени. Примером такой СМО может служить станция ремонта автомобилей, на которую с предприятий поступают транспортные средства. Чем больше их находится в ремонте, тем меньше поток поступающих на ремонт автомобилей.
Другим примером является вычислительная система, работающая в диалоговом режиме.
Z
Интенсивность потока заявок на входе системы будет определяться числом пользователей, которые в состоянии послать запрос.
Обслуживание пользователей производится m каналами (m ≤ M), которые являются универсальными каналами обслуживания с известным математическим ожиданием длительности обслуживания и интенсивностью µ. В системе имеется n‑местная очередь, в которую поступают заявки, заставшие каналы обслуживания занятыми (n=M-m).
Граф переходов замкнутой СМО приведен на рис.3.11. Состояния системы определяются так:
T1 T2 TM k1 km … M O … n …
Рис.3.10.
Z0 – заявок нет, ЭВМ простаивают, следовательно, интенсивность входящего потока равна Mλ;
Z1 – одна заявка на обслуживании, очередь пуста; т.е. пользователь, пославший запрос, ждет ответа, следовательно, интенсивность потока заявок равна (M-1)λ;
. . .
Zm – m пользователей отправили запрос, очереди еще нет, все каналы заняты; интенсивность потока заявок ‑ (M-m)λ;
Zm+1 – (m+1) пользователь сформировал запрос, 1 заявка в очереди; интенсивность потока заявок – [M-(m-1)]λ;
. . .
Zm+n – все M пользователей сформировали запрос, система полностью загружена, интенсивность входящего потока равна 0.
… …
… …
μ 2μ mμ mμ mμ
Рис.3.11.
В системе существует установившийся режим. Т.к. граф соответствует схеме «размножения и гибели», то для определения предельных вероятностей состояний можно воспользоваться формулами Эрланга:
Для случая, когда имеется очередь:
Характеристики данной системы:
1) поскольку система является замкнутой, то все заявки обслуживаются и
2) вероятность обслуживания ‑
3) абсолютная пропускная способность рассматривается как суммарная производительность каналов обслуживания –
4
5) средняя длина очереди ‑
6
В
обслуживание и В В состоянии Zm заявка ожидает обслуживания в течении
течении времени Для произвольного состояния это время
равно
Таким образом:
7 ) среднее время нахождения заявки в системе:
8) среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание числа занятых каналов –