10. Понятие о частотных характеристиках.

Частотные характеристики звеньев и систем отражают зависимость установившихся параметров выходного сигнала для гармонического входного воздействия, при изменении частоты входного сигнала ω от 0 до ∞.

Пусть на вход звена или системы подается входной сигнал: x(t)=Aвхe^jωt, e^±α = cosα ± jsinα ф-ла Эйлера. α=П, то e^п+1=0. Если система устойчива, то с течением времени на выходе устанавливается колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой. y(t)=Aвыхe^(jωt+φ). Свяжем это решение с диф. ур-ем системы: dy/dt=pY=d/dt(Aвыхe^(jωt+φ)) = Aвых ( jω)e^jωt+φ = (jω)*y; d²y/dt²=p²Y=…= (jω)²*y; dⁿy/dtⁿ =pⁿY=…= (jω)ⁿ*y. dx/dt=pX=d/dt(Aвхe^jωt) =Aвх( jω)e^jωt = (jω)*x; d²x/dt²=p²X=…= (jω)²*x; d^mx/dt^m =p^mx=…= (jω)^m*x. Подставив найденое выр-е в ур-е a_n* ( dⁿy (t) /dtⁿ) + a_n-1*(d^n-1y(t)/dt^n-1)+…+ a₁*(dy(t)/dt)+ a₀ *y(t) = b_m*(d^mu(t)/dt^m) + b_m-1* (d^m-1 u(t)/dt^m-1)+…+ b₁*(du(t)/dt)+ b₀*u(t) получим [a_n*(jω)ⁿ + a_n-1*(jω)^n-1 +…+ a₁*(jω)+ a₀]*y = [b_m*(jω)^m + b_m-1*(jω)^m-1 +…+ b₁*(jω)+ b₀]*u, D(jω)* Aвыхe^jωt+φ = K*(jω) Aвхe^jωt. Комплексный коэфф. передачи звена или системы будет равен: Aвыхe^jωt+φ/ Aвхe^jωt =K(jω)/D(jω) = (Aвых/Aвх)* e^jφ = W(jω). Эта ф-я назыв. комплексно частотной хар-ой (или амплитудно фазовая хар-ка) АФХ, КЧХ. Для каждого значения частоты ω, ф-я W(jω) представляет собой комплексную ф-ю (число), модуль которого равен отношению амплитуды вх. сигнала к амплитуде вых. сигнала, а аргумент равен углу сдвига фазы вых. сигнала относительно входного.

Ф-ю можно представить в виде вектора комплексной плоскости:

П

+1

ри изменении частотыω от 0 до +∞, то вектор будет

поворачиваться и его годограф будет представлять собой геометр. образ КЧХ или АФХ. Для отрицательных знач-й частотω от 0 до -∞, график АФХ будет выглядеть зеркально относительно вещественной. Выводы: а) аналитически выражение АФХ и КЧХ формально можно получить из передат. ф-ии подстановкой в место p=jω. б) АФХ может быть получено экспериментально: 1.1

подаем на вход сигнал т.еx(t)=Aвыхsinωt. 1.2 после установления колебаний на выходе измеряем Авых, Авх, ω1, φ(ω1). 1.3 вычисляем модуль А(ω1)=Авых/Авх и строим т.АФХ

1.4 Повторяемопыт для ω2, ω3, ω4,… и соеденим точки пунктирной линией (рис). Как любая комплексная ф-я АФХ

может быть записана в показат. и в алгебраичской форме:W(jω)=A(ω)e^jφ(ω) = P(ω) +jQ(ω). A(ω)-АЧХ- зависимость отношения амплитуды вых. сигнала к амплитуде вход. сигнала от частоты. φ(ω) –ФЧХ- зависимость сдвига фазы выходного сигнала от частоты. Р(ω)- ВЧХ(веществ. част. хар.). Q(ω)-МЧХ- мнимая частотная хар-ка.

A(ω)= P²(ω)+ Q²(ω);

φ(ω)=arctg(Q(ω)/P(ω));

P(ω)=Aωcosφ(ω); Q(ω)=A(ω)sinφ(ω). В инжинерной практике

широко применяются ЛЧХ. Для построения частотных хар-к в логарифмическом масштабе используют спец-е еденицы. В качестве еденицы логарифмического масштаба АЧХ используется [дБ].L(ω)=20ℓgA(ω).

Для логарифмической еденицы частоты наибольшее распространение в автоматике получила Декада.

Одна декада соотв-ет изменению частоты ω в 10 раз.