21’’. D-разбиение по одному параметру.

Пусть имеется пар-р К, влияние которого на устойчивость мы хотим исследовать. Разрешим хар-ое уравнение отн-но параметра К. D(p)=A(p) +K*B(p)=0, K= -A(p)/B(p).Для нахождения границы D-разбиения подставим вместо p->jω K= -A(jω)/B(jω).Хотя пар-р К действительное число, предполагается, что оно комплексное. Задаваясь значением w от –  до + строим кривую, отображающую мнимую ось плоскости р на плоскость параметра К. K(jω)= -A(jω)/B(jω)

=U(ω)+j*V(ω).Кривая всегда состоит из двух ветвей, симметричных относительно вещественной оси. поэтому построение достаточно выполнить для изменения частоты – 0 до + и далее построить зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Для определения какая из областей явл. областью устойчивости применяется правило штриховки. Проведём штриховкуD-разбиения слева по ходу изменения ω от –  до +. Переход заштрихованной стороны на не заштрихованную соот. переходу

корня из левой полуплоскости в правую. При переходе не заштрихованной стороны на заштрихованную увеличивается на 1 число корней с отрицательной вещественной частью и уменьшается на единицу число правых корней. То же самое правило и в плоскости К. Практически распределение корней определяется следующим образом. Вычисляют значение корней D(p)=0 в любой точке плоскости К, в которой это удобно. Далее, перемещаясь через границы областей и анализируя штриховку, вычисляется число правых и левых корней в каждой области и выявляем область, где все корни левые. При выводе о допустимых значениях параметров К берём только вещественные значения. Методика выполнения D-разбиения по одному параметру: 1) разрешаем хар-ое уравнение относит. исслед. пар-ра K=-A(p)/B(p), 2) заменим р на jω, выделяя веществ. и мнимые части K(jω)=-A(p)/B(p)=U(ω)+jV(ω). 3) строим границу D-разбиения, изменяя ω от –  до +, 4) наносим штриховку границы и вычисляем распределение корней в какой-либо точке. 5) находим распределение корней во всех областях и выявляем область устойчивости. Пример: D(p)=T₁T₂p³+ (T1+T2)p²+p+k=0 K=-T₁T₂ω³- (T1+T2)p²+p.

K(jω)=(T₁+T₂)ω²+jω(ω²T₁T₂­-1).

21''’. D-разбиение по 2 параметрам

Исследуем устойчивость систему по пар-ам К₁ и К₂. Тогда D(jω)=Re(K₁, K₂,ω)+jIm(K₁, K₂, ω)=0

{^{Re(K1, K2, ω)=0} _{Im(K1, K2, ω)=0}, (1) {^K1=f1(ω) _K2=f2(ω), (2) Изменяя ω от –  до + определяем границы устойчивости на плоскости К₁ К₂. Например:

Далее проводим штриховку. Правило штриховки:

1)вычисляется определитель:

2) штриховка наносится слева, если при возрастании частоты w >0 и справа, если <0. 3) Далее строятся особые

прямые, связанные с переходом корня через мнимую ось в нач. координат (а₀=0) и через + (а_n=0) a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+a₀=0 . На особые линии штриховка наносится в сторону двойной штриховки. Методика D-разбиения по двум параметрам: 1) выявление параметров по которым выполняется исследование 2) составление хар-го ур-ния, подстановка p=jω 3) формирование системы ур-ний (1) 4) решение сист. ур-ний, нахождение зависимостей (2) 5) построение областей устойчивости с учётом особенных линий 6) нанесение штриховки 7) проверка на устойчивость в одной т. области, претендующей на устойчивость Пример: D(p)=T₁T₂p³+ (T1+T2) p² +p+k=0, -j T₁T₂ω³- (T1+T2)p²+jω+k=0,

{^{Re(k,T1, ω)=k-(T­1+T2) ω2=0} _{Im(k,T1, ω)= ω-T1T2ω3=0}, Из (2) урав.: T₁=1/T₂ω². Из (1) урав.: k=(1/T₂)+T₂ω²

ω изм-ся (-,0)  >0; ω изм-ся (0,-)  <0

Особые линии: a₀=0  K=0; a_n=0  T₁T₂=0 T₁=0