Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоргалка / ШПОРЫ2.DOC
Скачиваний:
228
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
1.22 Mб
Скачать

18. Частотные критерии устойчивости:( Михайлова, Найквиста и т.Д)

Принцип аргумента: Пусть задано хар-е ур-е D(p)=anpn+ an-1pn-1+…+ a1p+ a0=0, Это уравнение можно записать через его корни D(p)= an(p-λ1) * (p- λ 2)*(p- λ 3)…(p- λ n)=0, λ 1, λ 2, λ 3, λ n – корни полинома D(p). Сделаем подстановку p=jω и перейдем в частотную область D(jω)= an(jω -λ1 ) * (jω - λ 2)*( jω - λ 3)…( jω - λ n)=0. Представим элементарный множитель (jω-λ i) в виде вектора на комплексной плоскости и рассмотрим его поведение при изменении частоты ω от -∞ до +∞.

Для корня с отриц. вещественной частью вектор jω-λi будет поворачиваться против часовой стрелки в положит. направлении на 1800. Обозначим этот разворот как приращение аргумента

элементарного вектора: ∆arg(jω-λi)=+π, ω(-∞;+∞). Для корня с положит. веществ. частью это приращение составит: ∆arg(jω-λi)=-π. Если система устойчива, то все n-корней лежат слева мнимой оси и приращение аргумента функции D(jω). ∆arg[D(jω)]=+π*n, (-∞;+∞). Если рассматривать только положит. значение частоты т.е ω(0,+∞) то приращение составит: ∆arg[D(jω)]=(π/2)*n. Критерий уст-ти Михайлова: Используя принцип аргумента исследуем поведение ф-ии D(jω) при изменении частоты ω(0;+∞). D(jω)=an(jω)n+ an-1(jω)n-1+…+ a1(jω)+ a0=R(ω)+jQ(ω). Для каждого значения частоты ω имеем вектор, который будет поворач. при изменении частоты. Траектория конца вектора назыв. траекторией годографа Михайлова. В соотв. с принципом аргумента можно сфор. кр. Михайлова: Def САУ будет устойчива если годограф функции D(jω) начинается на положительной вещественной полуоси и проходит послед. n-квадрантов нигде не нарушая порядок следоват. квадрантов и не обращаясь в 0.

Условие нахождения системы на границе устойчивости: D(jω)=0,при {R(∞)=0Q(∞)=0 D(p)= T022p3+T01p2+p+ КnK0, D(jω)=

T022(jω)3 +T01(jω)2+(jω)+ КnK0=(КnK0-T01ω2)- jω ( T022ω2 -1). {КnK0-T01ω2=0 T022ω2 –1, ω2= КnK0/T01, (T022nK0)/ T01=> Knкрит= T01/T022K0. Формулировка критерия Мих-ва может быть изменена:

Для устойчивой САУ годограф начин. на положит. веществ. полуоси и должен поочередно пересекать

мнимую и веществ. оси. ПостроимR(ω), Q(ω).

Вывод; для уст-й. САУ ф-ии R(ω) и Q(ω) должны по очереди пересек. ось абцисс, корни R и Q должны

чередоваться.Крит. уст-ви Найквиста: В отличии от ранее рассмот. крит. уст-ви. кот. опирались на соотв. исслед. системы хар-ки. Крит. Найквиста осн-н на анализе АФХ, КЧХ разом. системы по виду кот. судят об уст-ти замкн. системы. Причем АФХ может быть использ. как аналит. так и эксперим. Пусть имеем след. систему: Wз(p)=Wp(p)/1+Wp(p)

для систем 1-ой обрат. связью,Wp(p)=W1(p)*W1(p),Wp(p)=

М(р)/D(p) при (m≤n).Учитывая это получим Wз(p)= М(р)/(D(p)

+М(р))=М(р)/Dз(p).Устойчив.

замкнутой системы определ. хар-им ур-ем:Dз(p)=D(p)+М(p)=0. Ур-е анолог. годогр. Михайлова для замк-ой системы имеет вид: 1+ Wp(p)=0, 1+ Wp(jω)=0, Wp(jω)=-1. т.е крит. точка смещ. в т. с коорд.(-1; j0). Рассмот. повед. век-ра

1+Wp(jω)=F(jω)-вектор F(jω)=1+М(jω)/(D(jω)= Dз(jω)/D(jω). Применим принцип аргумента: ∆argF(jω)= ∆arg

Dз(jω)- ∆argD(jω). Чтобы замкн. система была устойч. необход. чтобы все корни Dз(jω) имели отриц. веществ. часть, но если корни слева, то тогда: ∆argDз(jω)=(П/2)*n. Пусть разомк. система не устойч. и имеет r-корней с положит. веществ. частью тогда: ∆argD(jω)=((n-r)*П/2)-r*П/2. и общее приращ. ф-и будет: ∆argF(jω)=((П/2)*n)-((n-r)*П/2)+r*П/2=(П/2)*2r. Получ. результат треб. для устойч. замк. САУ чтобы вектор F(jω) совершил r/2 оборотов в положит. направл. Def: замкн. САУ будет устой-ва если АФХ разом. сист. охватыв. точку с коорд.(-1; j0) r/2 раз, где r- число корней хар-ого ур-я раз. сист. с положит. веществ. частью. Если раз. сист. устой-ва т.е r=0, то фор-ка упрощ. Def: замк. САУ будет уст. Если АФХ раз. сист. неохват. т.(-1; j0).

Замк. САУ будет уст-м если АЧХ разом. сист. станет <1. раньше чем ФЧХ достигнет знач.

-П,φ(ω)=-П. Для ЛАЧХ: замкн. САУ будет уст. если ЛАЧХ

раз-ой сист. станет <0дБ, раньше чем ФЧХ достигнет знач. –П.

Соседние файлы в папке шпоргалка