18. Частотные критерии устойчивости:( Михайлова, Найквиста и т.Д)

Принцип аргумента: Пусть задано хар-е ур-е D(p)=a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+ a₁p+ a₀=0, Это уравнение можно записать через его корни D(p)= a_n(p-λ₁) * (p- λ ₂)*(p- λ ₃)…(p- λ _n)=0, λ ₁, λ ₂, λ ₃, λ _n – корни полинома D(p). Сделаем подстановку p=jω и перейдем в частотную область D(jω)= a_n(jω -λ₁ ) * (jω - λ ₂)*( jω - λ ₃)…( jω - λ _n)=0. Представим элементарный множитель (jω-λ _i) в виде вектора на комплексной плоскости и рассмотрим его поведение при изменении частоты ω от -∞ до +∞.

Для корня с отриц. вещественной частью вектор jω-λ_i будет поворачиваться против часовой стрелки в положит. направлении на 180⁰. Обозначим этот разворот как приращение аргумента

элементарного вектора: ∆arg(jω-λ_i)=+π, ω(-∞;+∞). Для корня с положит. веществ. частью это приращение составит: ∆arg(jω-λ_i)=-π. Если система устойчива, то все n-корней лежат слева мнимой оси и приращение аргумента функции D(jω). ∆arg[D(jω)]=+π*n, (-∞;+∞). Если рассматривать только положит. значение частоты т.е ω(0,+∞) то приращение составит: ∆arg[D(jω)]=(π/2)*n. Критерий уст-ти Михайлова: Используя принцип аргумента исследуем поведение ф-ии D(jω) при изменении частоты ω(0;+∞). D(jω)=a_n(jω)ⁿ+ a_n-1(jω)^n-1+…+ a₁(jω)+ a₀=R(ω)+jQ(ω). Для каждого значения частоты ω имеем вектор, который будет поворач. при изменении частоты. Траектория конца вектора назыв. траекторией годографа Михайлова. В соотв. с принципом аргумента можно сфор. кр. Михайлова: Def САУ будет устойчива если годограф функции D(jω) начинается на положительной вещественной полуоси и проходит послед. n-квадрантов нигде не нарушая порядок следоват. квадрантов и не обращаясь в 0.

Условие нахождения системы на границе устойчивости: D(jω)=0,при {^R(∞)=0_Q(∞)=0 D(p)= T₀₂²p³+T₀₁p²+p+ К_nK₀, D(jω)=

T₀₂²(jω)³ +T₀₁(jω)²+(jω)+ К_nK₀=(К_nK₀-T₀₁ω²)- jω ( T₀₂²ω² -1). {^{КnK0-T01ω2=0} _{T022ω2 –1}, ω²= К_nK₀/T₀₁, (T₀₂² *К_nK₀)/ T₀₁=> K_nкрит= T₀₁/T₀₂²K₀. Формулировка критерия Мих-ва может быть изменена:

Для устойчивой САУ годограф начин. на положит. веществ. полуоси и должен поочередно пересекать

мнимую и веществ. оси. ПостроимR(ω), Q(ω).

Вывод; для уст-й. САУ ф-ии R(ω) и Q(ω) должны по очереди пересек. ось абцисс, корни R и Q должны

чередоваться.Крит. уст-ви Найквиста: В отличии от ранее рассмот. крит. уст-ви. кот. опирались на соотв. исслед. системы хар-ки. Крит. Найквиста осн-н на анализе АФХ, КЧХ разом. системы по виду кот. судят об уст-ти замкн. системы. Причем АФХ может быть использ. как аналит. так и эксперим. Пусть имеем след. систему: W_з(p)=W_p(p)/1+W_p(p)

для систем 1-ой обрат. связью,W_p(p)=W₁(p)*W₁(p),W_p(p)=

М(р)/D(p) при (m≤n).Учитывая это получим W_з(p)= М(р)/(D(p)

+М(р))=М(р)/D_з(p).Устойчив.

замкнутой системы определ. хар-им ур-ем:D_з(p)=D(p)+М(p)=0. Ур-е анолог. годогр. Михайлова для замк-ой системы имеет вид: 1+ W_p(p)=0, 1+ W_p(jω)=0, W_p(jω)=-1. т.е крит. точка смещ. в т. с коорд.(-1; j0). Рассмот. повед. век-ра

1+W_p(jω)=F(jω)-вектор F(jω)=1+М(jω)/(D(jω)= D_з(jω)/D(jω). Применим принцип аргумента: ∆argF(jω)= ∆arg

D_з(jω)- ∆argD(jω). Чтобы замкн. система была устойч. необход. чтобы все корни D_з(jω) имели отриц. веществ. часть, но если корни слева, то тогда: ∆argD_з(jω)=(П/2)*n. Пусть разомк. система не устойч. и имеет r-корней с положит. веществ. частью тогда: ∆argD(jω)=((n-r)*П/2)-r*П/2. и общее приращ. ф-и будет: ∆argF(jω)=((П/2)*n)-((n-r)*П/2)+r*П/2=(П/2)*2r. Получ. результат треб. для устойч. замк. САУ чтобы вектор F(jω) совершил r/2 оборотов в положит. направл. Def: замкн. САУ будет устой-ва если АФХ разом. сист. охватыв. точку с коорд.(-1; j0) r/2 раз, где r- число корней хар-ого ур-я раз. сист. с положит. веществ. частью. Если раз. сист. устой-ва т.е r=0, то фор-ка упрощ. Def: замк. САУ будет уст. Если АФХ раз. сист. неохват. т.(-1; j0).

Замк. САУ будет уст-м если АЧХ разом. сист. станет <1. раньше чем ФЧХ достигнет знач.

-П,φ(ω)=-П. Для ЛАЧХ: замкн. САУ будет уст. если ЛАЧХ

раз-ой сист. станет <0дБ, раньше чем ФЧХ достигнет знач. –П.