23. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам — малая наглядность. Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули. Тогда согласно критерию Гурвица: Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица. Пусть D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n, тогда:

- определитель Гурвица

Для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы ∆n и все его миноры были положительны при a₀>0.

24) Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова

Принципом аргумента :Если функция f мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области G с гладкой границей и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула: где N и P — количества соответственно нулей и полюсов функции f в G, учтённых каждый с его кратностью, а — изменение аргумента f(z) при обходе вдоль контура области G (ориентацияконтура стандартная). Он является частотным критерием и позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по виду годографа характеристического вектора соответствующей системы.

Перейдем к частотной функции характеристического многочлена, заменив p на jw:

Критерий:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты в интервале от 0 до ∞, начинаясь в точке на вещественной положительной полуоси последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не пересекая начало координат.

2-я формулировка:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ изменение фазы частотной функции характеристического уравнения:

Свойства чередования корней.

Для устойчивости системы корни должны чередоваться.

25. Критерий устойчивости Найквиста. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

Относится к частотным критериям и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду годографа АФХ разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы –

Передаточная функция разомкнутой системы –

Разомкнутая система в общем случае может быть не устойчива. Но если она устойчива в замкнутом состоянии, то этого достаточно для ее работоспособности.

(-n+2l)π/2= l_*π .Для устойчивости замкнутой линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞, изменение фазы частотной функции D(jw) равной 1+W(jw) равнялась l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Вспомогательную частотную функцию W(jw) на 1 отличающуюся от амплитудно фазовой характеристики разомкнутой системы можно рассматривать как АФХ при смещении оси ординат на -1.

На практике такого смещения не делают, а рассматривают изменение фазы функции D(jw) как изменение фазы вектора, проведенного из точки с координатами (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы.

При изменении частоты до ∞ конец этого вектора скользит по годографу АФХ разомкнутой системы.

Формулировка критерия: 1) Общий случай: для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение фазы вектора проведенного из точки (-1;j₀) к годографу АФХ разомкнутой системы при изменении частоты в интервале от 0 до ∞ было равно l_*π, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. 2) Частный случай 1: если в разомкнутом состоянии система устойчива, тогда для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы не охватывал точку (-1;j₀) 3) Частный случай 2: Особенности применения критерия Найквиста для астатических систем. При оценке устойчивости астатических систем необходимо учитывать фазовый сдвиг определяемый левыми корнями характеристического уравнения, чтобы исключить влияние интегрирующих звеньев необходимо при w>0 достроить АФХ разомкнутой системы дугой ∞-о большого радиуса ν_*π/2 против часовой стрелки, где ν – порядок астатизма системы – число интегрирующих звеньев. Далее применяем критерий Найквиста в обычной интерпретации.