9. Вещественная и мнимая частотные характеристики сау, их связь с амплитудной и фазовой частотными характеристиками.
Проекции вектора W(j) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P( ), Q( ). Это позволяет записать АФЧХ в алгебраической форме:
W(j) = P( ) +j Q( ) (2.36)
АФЧХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме
W(j) = A( )cos () + j A( )sin (). (2.37)
Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки
p = j :
W(j) = W(p)p = j . (2.38)
Связь между различными частотными характеристиками следующая:
A(
) =
W(j)
=
(2.39)
()
= arg
W(j)
=
(2.40)
8. Математическое описание сау в частотной области. Амплитудная и фазовая частотные характеристики сау
Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и САУ в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Они находят применение в ТАУ, так как реальные возмущения, а следовательно и реакции на них элемента или САУ могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.
В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:
амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты
(2.34)
Рис. 2.13. Частотные характеристики:
а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая
Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.
ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Пример ФЧХ приведен на рис. 2.13, б.
Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного j :
W(j) = A( ) e j () (показательная форма), (2.35)
где A( ) – модуль функции; () – аргумент функции. При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(j) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты
10. Логарифмические частотные характеристики сау
При практических расчетах САУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.
Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты i и его десятикратным значением 10i .
Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)
L() = 20 lg A( ), (2.41)
ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).
Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.