Задача 30

Маємо два проекти А і В з різними річними прибутками: А – 500, 450, 400, 350 і 300 тис. грн.; В – 300, 350, 400, 450 та 500 тис. грн. Вихідні дані та розв’язування прикладу для проектів наведені в таблиці.

Рік існування проекту, t	Витрати 1Сt, тис. грн.		Грошові надходження Рt, тис. грн.		Рt - 1Сt , тис. грн.
	проект А	проект В	проект А	проект В	проект А	проект В	проект А	проект В
1-й	600	300	1100	600	500	300
2-й	500	400	1000	1000	500	600
3-й	400	500	900	1200	500	700
4-й	300	600	800	1400	500	800
5-й	200	700	700	1600	500	900
Разом	2000	2500	4500	5800	2500	3300

На основі даних визначити:

а) перевищення результатів над витратами;

б) чистий приведений інтегрований прибуток;

в) дисконтований термін окупності;

г) вигідніший проект, який дає більший сукупний прибуток..

1. P_t - IC_t,

2.NPV=∑ r=0,1

3. PP=

Якщо NPV>0 – проект ефективний

Якщо NPV<0 – проект неефективний

Рік існування проекту, t	Pt - ICt, тис. грн
	проект А	проект В	проект А	проект В	проект А	проект В
1-й	500	300	454,55	272,73	0,55	0,50
2-й	500	600	413,22	495,87	0,50	0,40
3-й	500	700	375,66	525,92	0,44	0,42
4-й	500	800	341,51	546,41	0,38	0,43
5-й	500	900	310,46	558,83	0,29	0,44
Разом	2500	3300	1895,39	2399,76	2,15	2,18

Висновки

Краще прийняти проект В – там і ЧПД більше і терміни окупності менш тривалі, хоча і треба відзначити що обидва проекти вигідні.

Задача 31

На виробничій дільниці мають місце дані по кожному типу дефекту продукту А. Вихідні дані представлені в таблиці.

Дані для побудови діаграми Парето

Тип дефекту	Кількість дефектів
	загальна сума	за кожним типом, %	наростаючим підсумком	наростаючим підсумком, %
Тріщини	25	12,5	5	2,5
Розриви	30	15	15	7,5
Деформація	90	45	40	20
Викривлення	40	20	70	35
Корозія	10	5	110	55
Інші	5	2,5	200	100
Усього	200	100

На основі даних таблиці необхідно:

а) розташувати дані в таблиці по кожному типу дефекту продукту в порядку значущості;

б) заповнити таблицю;

в) побудувати діаграму Парето;

г) вживати заходи, спрямовані на усунення проблем, які спричиняють найбільшу кількість дефектів.

100%

Через те, що найбільше дефектів у нас через деформацію, треба зробити менше дефекти по цій причини. Для цього приділити увагу процесом, що робляться на різних стадіях, дослідити причини деформації, взяти якіснішу сировину, перекваліфікувати робітників, тощо…

Задача

На виробничій дільниці мають місце дані по кожному типу дефекту продукту А. Вихідні дані представлені в таблиці.

Таблиця даних для побудови діаграми Парето

Тип дефекту	Кількість дефектів
	загальна сума	за кожним типом, %	наростаючим підсумком	наростаючим підсумком, %
Тріщини	20	10	5	2.5
Розриви	25	12	10	7.5
Деформація	100	50	20	17.5
Викривлення	40	20	25	30.0
Корозія	10	5	40	50.0
Інші	5	3	100	100.0
Усього	200	100	200	-

На основі даних таблиці необхідно:

5. розташувати дані в таблиці по кожному типу дефекту продукту в порядку значущості;

6. заповнити таблицю;

7. побудувати діаграму Парето;

8. вживати заходи, спрямовані на усунення проблем, які спричиняють найбільшу кількість дефектів.

Задача

Календарний план ремонту центральної кімнати будинку у табличній формі має такий вигляд.

Календарний план проекту ремонту кімнати

Код роботи	Робота	Тривалість, дні	Дата початку	Дата закінчення
А	Закупка матеріалів	2	1.06	2.06
Б	Фарбування стелі	4	3.06	6.06
С	Фарбування стін	4	3.06	6.06
Д	Фарбування дерев’яних частин	5	3.06	7.06

На основі даних побудувати діаграму Ганта та визначити:

6. які роботи є критичними, а які некритичними;

7. який запас часу мають некритичні роботи;

8. коли мають розпочинатися і завершуватися за планом проектні роботи;

9. якими є логічні зв’язки між роботами;

10. яким є фактичне виконання робіт на певну дату.

Цей графік робіт можна подати у вигляді балочної діаграми, або, як її ще називають, діаграми Ганта, за ім’ям німецького інженера, який вперше запропонував цей інструмент календарного планування проектів на початку ХХ століття.

Роботи	Показник	Поточна дата
		1.06	2.06	3.06	4.06	5.06	6.06	7.06
А	план
	факт
Б	план
	факт
С	план
	факт
Д	план
	факт

Умовні позначення:

Критична робота

Некритична робота

Запас часу

Задача

Для виконання оздоблювальних робіт потрібно 16 малярів, а наявна чисельність – 12. Вихідні дані про потребу в трудових ресурсах представлені в таблиці.

Таблиця

Потреба в трудових ресурсах

Робота	Дата початку	Дата закінчення	Необхідний ресурс на день, чол.
A	1	2	8
B	3	4	4
C	3	4	12
D	5	6	10
E	7	10	2
F	11	11	4

На підставі даних таблиці необхідно побудувати:

4. календарний графік потреби у ресурсі;

5. календарний графік потреби у ресурсі;

6. діаграму потреби у ресурсі;

7. визначити шляхи подолання нестачі ресурсів.

Побудуємо гістограму наявності ресурсів

Робота	Дні
	1	2	3		4	5	6	7	8	9	10	11
А	8	8
B			4		4
С			12		12
D						10	10
E								2	2	2	2
F												4

Умовні позначення:

- робота - запас часу

Рис. 2. Календарний графік потреби у ресурсі

Рис.3. Діаграма потреби у ресурсі

Робота	Дні
	1	2	3		4	5		6		7		8			9			10			11
А
B
С
D
E
F

Рис. 4. Календарний графік потреби у ресурсі після зміни календарних термінів у межах запасу часу

Рис. 5. Гістограма потреби у ресурсі після згладжування

Задача

Менеджер проекту після закінчення першого тижня виконання проекту отримав таку інформацію: за планом на 1-й тиждень проектна команда мала виконати 80% обсягів певної роботи, яка коштує 800 грн. Фактично було зроблено 70% цієї роботи і витрачено при цьому 680 грн. Бюджет усього проекту становить 2400 грн., термін виконання – чотири тижні.

На основі даних необхідно визначити: плановий бюджет проекту на кінець 1-го тижня; хід виконання проекту стосовно бюджету за допомогою коефіцієнта по витратах; вартість усього проекту з урахуванням коефіцієнта по витратах; своєчасність виконання проекту за відповідним коефіцієнтом; прогнозні терміни виконання проекту; показники виконання проекту за допомогою S-подібних кривих.

Рішення:

Згідно з планом на 1-й тиждень проектна команда мала виконати 80% обсягів певної роботи, яка коштує 800 грн. Фактично було зроблено 70% цієї роботи і витрачено при цьому 680 грн.

За планом на кінець 1-го тижня бюджет становив:

С_пл = 640 грн (С_пл = С^п_пл *Q_пл ); С_ф = 680 грн. С_ск = 560 грн (С_ск = С^п_пл* Q_ф ) С_пл – плановий бюджет на певну дату; С^п_пл – плановий бюджет на весь проект; Q_пл – запланований обсяг робіт на певну дату; С_ф – фактичний бюджет на певну дату (береться зі звіту); С_ск – скоригований бюджет на певну дату; Q_ф – фактичний обсяг виконаних робіт на певну дату, % (береться зі звіту).

Бюджет усього проекту становить 2400 грн., термін виконання – чотири тижні. Оцінюємо хід виконання проекту стосовно бюджету за допомогою коефіцієнта по витратах Кв:

Тобто, з кожної реально витраченої гривні за планом члени команди мали витратити лише 0,824 грн. Якщо такі тенденції збережуться і надалі, то за прогнозом вартість всього проекту становитиме:

С^прогн = 2400 / 0,824= 2913 (грн) де С^прогн – прогнозна оцінка вартості усього проекту.

Як бачимо, перевищення бюджету проекту може становити 513 грн.

Оцінка своєчасності виконання проекту ведеться за відповідним коефіцієнтом К_t:

Знайдений рівень свідчить про наявність відставання у проектних термінах, яке може призвести до того, що виконання всього проекту затягнеться і прогнозовано вимагатиме 4,8 тижня:

Т^прог = 4 / 0,875 = 4,8 (тижня)

де Т^прог – прогнозовані терміни виконання проекту

Крім аналітичного, ці дані можна використати для графічного аналізу проекту за допомогою так званих S-подібних кривих.

Метод прогнозування остаточних витрат для окремих сегментів проекту грунтується на екстраполяції фактичних даних про хід виконання проекту на певну дату.

Планові витрати для робіт, що залишилися (С_зал), визначаються як різниця між плановим бюджетом на весь проект і скоригованим бюджетом на кінець періоду, що оцінюється:

С_зал = С^п_пл - С_ск = 2400 - 560 = 1840 (грн.)

Прогнозна оцінка витрат по роботах, що залишилися () визначається за формулою:

= С_зал / К_в = 1840 / 0,8235 = 2235 (грн.)

Таким чином, обчислення показують, що витрати на роботи проекту, що залишилися, можуть бути перевищені на 393 грн. (2233-1840).

Прогнозовані остаточні витрати на проект визначаються як сума залишкових прогнозних витрат і фактичних витрат по вже виконаних роботах.

=+ С_ф = 2233 + 680 = 2913 (грн.)

Отже, важливо підкреслити, що метод дає змогу не тільки прогнозувати остаточні витрати по роботах, які вже розпочалися, а й визначити витрати по майбутніх роботах на підставі тенденцій, що склалися по попередніх роботах або ж по даному підрозділу.

Задача

Маємо дані про проект заміни устаткування на виробничій дільниці. Характеристика робіт подана у таблиці.

Розподіл затрат по роботах проекту заміни устаткування

Код роботи	Робота	Тривалість, дні	Затрати, грн.
			на всю роботу	на один день
А	Демонтаж першого верстата	3	400	133,0
В	Встановлення і налагодження нового верстата	7	1000	143,0
С	Демонтаж другого верстата	3	400	133,0
Д	Встановлення і налагодження нового верстата	6	1000	167,0
Е	Випробування роботи системи	2	600	300
Усього			3400	-

На підставі даних таблиці необхідно:визначити затрати на один день по кожному виду робіт;2. календарне планування витрат за проектом (витрати в днях та наростаючим підсумком);бананоподібну криву розподілу бюджету проекту в часі.

Розв’язок:

Побудуємо сітковий графік проекту заміни устаткування Тривалість проекту – 12 днів.

Роботи треба закінчити за 10 днів.

М енеджер проекту повинен визначити:

1. розрахункові витрати по роботах при нормальному або очікуваному їх виконанні;

2. тривалість робіт за умов максимального скорочення їх за рахунок додаткових ресурсів (тобто мінімально можлива тривалість робіт);

3. розрахункові витрати на виконання робіт за умов максимального скорочення часу їх завершення.

Наведемо інформацію, необхідну для подальших розрахунків.

Таблиця 2

Характеристика тривалості і витрат по роботах проекту заміни устаткування

Код роботи	Тривалість роботи		Витрати, грн.		Максимальне скорочення тривалості, дні	Питомі витрати на скорочення тривалості, грн/день
	нормальна	мінімальна	за нормальн. тривалості	за скороч. тривалості
А	3	2	400	700	1	300
В	7	4	1000	1600	3	200
С	3	1	400	1000	2	300
Д	6	4	1000	1800	2	400
Е	2	1	600	1100	1	500
Всього			3400	6200	-	-

Для обчислення значення шостої і сьомої граф скористаємося такими розрахунками:

М_і = t_i - t_i^x

де М_і – максимально можливе скорочення тривалості роботи;

t_i- нормальна тривалість і-ї роботи;

t_i^x – тривалість і-ї роботи за умов максимально можливого скорочення.

Якщо С_і – розрахункові витрати на виконання і-ї роботи за нормальних умов і термінів виконання;

С_і^х – витрати на виконання і-ї роботи в умовах максимального скорочення її тривалості за рахунок додаткових ресурсів, то в розрахунку на один день питомі витрати на скорочення тривалості і-ї роботи (К) обчислюються за формулою:

Наприклад, якщо нормальна тривалість роботи В t_B = 7 днів за витрат С_В = 1000 грн., а мінімальна тривалість t_i^x = 4 дні за витрат С_В = 1600 грн., то М_В = 7-4 = 3 дні, а

Зробимо припущення, якщо роботу В вирішено скоротити на 1,5 дня, то додаткові витрати дорівнюють 200*1,5=300 грн., а загальні витрати =1000+300=1300грн.

Інформація про питомі витрати на скорочення робіт підводить до запитання: тривалість яких робіт скорочувати? Як бачимо на рис. 2, у менеджера проекту, який перебуває в точці А з початковим рівнем тривалості виконання проекту і відповідних витрат, є три альтернативи скорочення тривалості робіт за проектом:

1. він може скоротити некритичні роботи, опинитися в точці Д, що приведе до зростання витрат, проте не вплине на тривалість виконання усього проекту;

2. скорочення критичних робіт (точка В), яке вплине на скорочення тривалості часу виконання проекту й зростання витрат, проте до обмеженого рівня, оскільки можуть виникнути нові критичні шляхи, до яких увійдуть некритичні у минулому роботи;

3. скорочення усіх робіт у межах старого й нового критичних шляхів, щоб досягти нової тривалості проекту, який відповідає точці С.

Щоб забезпечити алгоритм скорочення тривалості робіт за проектом, необхідно:

1. Визначити критичний шлях.

2. Визначити роботи в межах критичного шляху, які потрібно скоротити.

3. Визначити пріоритетність скорочення робіт:

а) роботи з найменшими витратами на скорочення на один день;

б) роботи, які найлегше скоротити;

в) роботи, скорочення яких найефективніше вплине на тривалість виконання проекту.

4. Скоротити роботи на один день і подивитися, чи не утворився новий критичний шлях.

Що ж до нашого прикладу, то скорочення тривалості робіт за проектом вимагає, передусім, скорочення роботи В, оскільки вона є критичною з найменшими питомими витратами на скорочення. Але скорочення роботи В на один день утворює новий критичний шлях, до якого входять уже роботи С і Д. Остаточним, найбільш економним варіантом зменшення тривалості здійснення проекту до 10 днів буде скорочення роботи В на 2 дні з додатковими витратами у сумі 400 грн. і робіт С або А на один день з додатковими витратами 300 грн. Таким чином, нова тривалість проекту в 10 днів обійдеться компанії у додаткових 700 грн.

Роботи	Дні
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
А	133	133	133
	133	133	133
В				143	143	143	143	143	143	143
				143	143	143	143	143	143	143
С		133	133	133	133
			133	133
Д				167	167	167	167	167	167	167
					167	167	167	167	167
Е											300	300
											300	300
Витрати в днях	266	266	266	310	310	310	310	310	310	143	300	300
	133	266	266	276	310	310	310	310	310	310	300	300
Наростаючим підсумком	266	532	798	1108	1418	1728	2038	2348	2658	2800	3100	3400
	133	399	665	940	1250	1560	1870	2180	2490	2800	3100	3400

Рис. 3. Календарне планування витрат за проектом

Задача

Наступна інформація про роботу проекту (час задано у днях) характеризується наступними даними. Оцінка тривалості робіт (у тижнях)

Код роботи	Оптимістичний час	Найімовірніший час	Песимістичний час	Очікуваний час	Варіація
A	5	6	13	7	1,77
B	3	4	5	4	0,11
C	1	2	3	2	0,11
D	2	3	4	3	0,11
E	0,5	2	4	2	0,34
F	4	6	14	7	2,78
G	1	1,5	5	2	0,45
H	0,5	1	1,5	1	0,03

На основі наведених даних: а) побудуйте діаграму, яка відображає проекти; б) яким є критичний шлях і загальний час цього проекту; в) визначте резерв часу по роботах цього проекту; г) якою є імовірність того, що проект на два дні пізніше обчисленого строку; д) якщо діяльність G потребує 15 днів роботи, як це вплине на Вашу відповідь на пункт б)?

Щоб урахувати ймовірність терміну виконання робіт потрібно одержати три оцінки можливості тривалості для кожної роботи. Це:

• оптимістичний час – термін виконання роботи, якщо все буде забезпечено ідеально (а);

• найбільш імовірний час – очікуваний термін виконання роботи за нормальних умов (m);

• песимістичний час – термін виконання роботи, якщо виникнуть суттєві перешкоди (b).

При оцінці часу дають змогу менеджеру висловити свої припущення щодо найбільш імовірного часу на виконання робіт і потім відобразити невизначеність, запропонувати кращий (оптимістичний) і гірший (песимістичний) варіанти оцінки часу.

Очікуваний час виконання робіт обчислюється за формулою:

Н априклад, для роботи А

.

Для визначення можливих коливань або мінливості цих значень використаємо відому статистичну міру мінливості – дисперсію, або варіацію значень часу на виконання робіт:

.

Критичний шлях A-B-F-G-H.термін виконання – 21 тиждень. Якщо позначити тривалість проекту в цілому як Т, то

Т = t_A+t_B+t_F+t_G+t_H

Варіація загального часу визначається сумою варіацій робіт критичного шляху:

За умов незалежності термінів виконання окремих робіт стандартним відхиленням є:

Ц е припущення полягає в тому, що розподіл часу (Т) завершення проекту є нормальним.

Використовуючи таблицю нормального розподілу знайдемо, що ймовірність виконання проекту за 24 тижні становить 0,8132 або 81, 32%. Відповідно ймовірність невиконання проекту за 24 тижні

1-0,8132=0,1868 або 18,68%.

Таким чином, сітьові графіки ми можемо використовувати для планування проектів з невизначеними оцінками часу виконання, для оцінки тривалості проекту, ймовірності його завершення в бажаний термін.

Задача

Маємо два проекти А і В з різними річними прибутками: А – 500, 450, 400, 350 і 300 тис. грн.; В – 300, 350, 400, 450 та 500 тис. грн. Норма дисконту: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Рік існування проекту, t	Витрати ICt, тис. грн.		Грошові надходження Pt, тис. грн.		Pt – ICt, тис. грн.		Pt – ICt, (І+r)t
	А	В	А	В	А	В	А	В
1	5	30	0	10	5	-20	-4,55	-18,18
2	20	20	10	10	-10	-10	-8,26	-8,26
3	30	5	20	20	-10	15	7,52	11,25
4	0	0	20	20	20	20	13,66	13,66
5	0	0	30	20	30	20	18,63	12,42
Всього	55	55	80	80	25	25	11,96	10,92

На основі даних визначити:

1. перевищення результатів над витратами;

2. чистий приведений інтегральний прибуток (NVP);

3. дисконтований термін окупності (DPP);

4. вигідніший проект, який дає більший сукупний прибуток;

5. індекси рентабельності інвестицій (РІ);

6. внутрішню норму прибутковості для вищезазначених норм дисконту (IRR);

7. взаємозв’язок між чистим приведеним інтегрованим прибутком і внутрішньою нормою прибутковості для різних норм дисконту;

8. термін окупності (DPP);

9. коефіцієнт ефективності інвестицій (АRR).

Із даних таблиці випливає, що перевагу слід віддати проекту А, тому що для нього NVP = 11,96, а для проекту В чистий приведений інтегральний прибуток NVP = 10,92. Крім того, дисконтовані витрати для проекту А дорівнюють

тис. грн.,

а для проекту В

тис. грн.

Тобто й за цим показником переважає проект А. Як бачимо, значення NVP залежить від розподілу витрат і грошових надходжень у часі. Слід урахувати також вплив норми дисконту на значення NVP (що вона більша, то менший NVP).

За умов прикладу ми можемо порівняти проекти за модифікованою методикою визначення NVP. Потоки дисконтованих надходжень для проектів А і В дорівнюють відповідно

тис. грн.

тис. грн.

Для проекту А маємо NVP = 55,53 – 43,65 = 11,88 тис. грн., для проекту В значення NVP = 58,47 – 47,59 = 10,88 тис. грн. Отже, перевагу слід віддати проекту А.

Індекс рентабельності інвестицій (РІ) є відношенням суми приведених ефектів до розміру капіталовкладень, тобто

За умов нашого прикладу розрахуємо індекси рентабельності інвестицій РІ для проектів А і В.

Для проекту А маємо РІ = 55,53/43,65 = 1,27,

а для проекту В маємо РІ = 58,47/47,59 = 1,23.

Індекс рентабельності інвестицій (прибутковості) тісно пов’язаний із NVP: якщо значення NVP додатне, то РІ > 1, і навпаки.

Таким чином, якщо РІ > 1, то проект вважається ефективним, а якщо РІ < 1 – неефективним. Індекс РІ є відносним показником. який можна застосувати для одного з альтернативних проектів, що мають приблизно однакові значення NVP чи комплектування портфеля інвестицій з максимальним значенням NVP.

Внутрішня норма прибутковості (IRR) є нормою дисконту r при NVP = 0 (тобто розмір зведених ефектів дорівнює зведеним капіталовкладенням), яку визначають за формулою

Якщо значення NVP інвестиційного проекту дає відповідь на питання про його ефективність за певної заданої норми дисконту r, то IRR визначають методом послідовних наближень і порівнюють з необхідною інвестору нормою прибутку на вкладений капітал. Якщо значення IRR не менше від потрібної норми прибутку на капітал, інвестиції виправдані. У противному разі проект відхиляють.

Для проекту А розрахуємо внутрішню норму прибутковості. При нормі прибутку 10% (r = 0,1) NVP =11,96 тис. грн. При r = 0,2 маємо

Отже, NVP > 0, тому IRR >20%. При r = 0,3 маємо NVP = 0,77 тис. грн., а при r = 0,4 значення NVP = 1,53 тис. грн. Отже, 30% < IRR < 40%.

За допомогою методу послідовних наближень звузимо інтервал допустимих значень показника IRR. При r = 0,35 маємо NVP = -0,54 тис. грн.

Отже, 30% < IRR < 35%. При ставках дисконту 0,33; 0,32; 1,325; 1,326; 1,327; 1,328 отримаємо відповідні значення NVP, тис. грн.: 0,06; 0,20; 0,07; 0,04; 0,01; -0,01. Звідси доходимо висновку, що 32,7% < IRR < 32,8%. Для прискорення обчислень застосовують програмні засоби типу електронних таблиць.

Термін окупності РР – це мінімальний часовий інтервал (від початку здійснення проекту), за межами якого інтегральний дохід від проекту стає позитивним і залишається таким. Іншими словами, це період часу, починаючи з якого початкові вкладення та інші, пов’язані з проектом витрати, покриваються результатами його здійснення. послідовність розрахунку терміну окупності залежить від рівномірності прогнозованих прибутків від інвестицій. Якщо прибуток розподілений за роками рівномірно, то пропонується використовувати формулу

де ІС_t – капітальні витрати;

- щорічний прибуток від капіталу.

Якщо прибуток розподілений за роками нерівномірно, то РР розраховують безпосередньо як період, протягом якого інвестицію буде погашено за рахунок кумулятивного прибутку, тобто

Д

исконтований термін окупності ДРР розраховують як

К

оефіцієнт ефективності інвестицій (АRR) – це відношення середньорічного чистого прибутку проекту Р_ср (балансового прибутку за мінусом відрахувань у бюджет) до середньорічного обсягу інвестицій ІС_ср (без залишкової або ліквідаційної вартості):

Можна також застосувати дисконтований коефіцієнт ефективності інвестицій, який визначають за формулою