3.6. Контрольные задания для модуля 3.

3.6.1. Сформулируйте основные свойства собственных значений автокорреляционной матрицы для случая синусоид в белом шуме.

3.6.2. Опишите процедуру оценки частоты в подпространстве сигнала.

3.6.3. За счет чего в методе MUSIC может быть достигнуто большее спектральное разрешение при малом отношении сигнал/шум?

3.6.4. Поясните понятие биспектра. Приведите примеры эффективного использования биспектрального анализа.

3.6.5. Поясните понятие кепстра. В каких случаях кепстральный анализ разумно применять для анализа сигналов?

3.6.6. Поясните, чем принципиально отличается спектральный анализ на основе МТМ-метода от периодограммного метода?

3.6.7. Чем определяется статистическая устойчивость оценок СПМ в периодограммном методе и МТМ-методе?

3.6.8. Сформулируйте дисперсионный критерий обнаружения дискретных составляющих в спектре сигнала.

3.6.9. Назовите основные свойства вытянутых сфероидальных волновых функций.

3.6.10. Поясните правило оценки количества гармонических составляющих в анализируемом сигнале при использовании метода MUSIC.

3.6.11. Если процесс состоит из действительных синусоид и аддитивного белого шума, что Вы можете сказать о минимальных собственных значениях автокорреляционной матрицы?

3.6.12. Объясните, за счет чего МТМ-метод спектрального анализа незначительно уменьшает спектральное разрешение по сравнению с Релеевским пределом.

3.6.13. Какие особенности МТМ-метода дают возможность корректно разделить непрерывную и дискретную компоненты СПМ?

3.6.14. Для каких сигналов эффективен кепстральный анализ?

3.6.15. Поясните основные понятия кепстрального анализа.

3.6.16. Назовите основные свойства кепстра.

3.6.17. Назовите основные свойства комплексного кепстра и его свойства.

3.6.18. Основные свойства биспектра.

3.6.19. Сформулируйте основные моменты оценки параметров дискретных составляющих сигнала на основе модифицированного метода линейного предсказания (Тафтс).

4. Самостоятельная работа студентов.

Самостоятельная работа студента предусматривает:

1. Проработку лекционного материала.

2. Проработку теоретического материала по учебно-тематическому плану самостоятельной работы.

3. Конспектирование теоретического материала в процессе самостоятельного изучения.

При проработке тем по учебно-тематическому плану самостоятельной работы студенту рекомендуется воспользоваться литературой, указанной в разделе 2.3.

5. Мониторинг процесса обучения.

В процессе обучения предполагается использовать контроль освоения материала по модулям. Изучение каждого модуля должно заканчиваться коллоквиумом (1 час) с использованием контрольных вопросов, приведенных в разделах 3.2, 3.4 и 3.6 данного УМК. Положительные ответы на коллоквиумах учитываются при сдаче итогового экзамена.

Итоговый контроль обучения по курсу «Современные методы спектрального оценивания» производится в виде устного или письменного экзамена, перечень билетов с вопросами для которого указан в разделе 6.1 данного УМК.

6. Перечень экзаменационных вопросов, выносимых на устный экзамен.

6.1. Перечень билетов с вопросами, выносимых на экзамен.

Билет 1.

1. Определение случайной функции. Свойства многомерных функций распределения. Примеры случайных процессов, допускающих полное статистическое описаниею

2. Подход Блекмена-Тьюки к оцениванию плотности спектра мощности. Практический алгоритм оценивания СПМ.

Билет №2

1. Моменты случайной функции. Корреляционная функция и ее основные свойства. Стационарность. Свойства корреляционной функции стационарных случайных процессов.

2. Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона ( по методу минимума дисперсии).

Билет №3

1. Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Несмещенность и состоятельность оценки математического ожидания стационарного случайного процесса по результатам наблюдений. Определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.

2. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Метод MUSIC и EV

Билет №4

1. Практическое оценивание математического ожидания и корреляционной функции непрерывного и дискретного случайного процесса. Рекурсивное оценивание матожидания и дисперсии дискретного сигнала. Определения эффективного радиуса корреляции и их смысл.

2. Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Спаренное преобразование Фурье. Преобразование Фурье двойной длины. Идея алгоритма БПФ Кули-Тьюки.

Билет №5

1. Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.

2. Метод гармонического разложения Писаренко.

Билет №6

1. Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2. Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок.

Билет №7

1. Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Теорема о спектральном разложении. Определение спектра стационарного случайного процесса и его свойства.

2. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения.

Билет №8

1. Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.

2. Метод моделирования с использованием рациональной передаточной функции. Уравнения Юла-Уокера.

Билет №9

1. Оценивание спекра мощности стационарного случайного процесса. Периодограммная оценка плотности спектра мощности через оценку корреляционной функции и через выборку стационарного случайного процесса. О смещенности оценки плотности спектра мощности.

2. Подходы к моделированию и идентификации параметров. Показать, что оценка СПМ на основе дискретной периодограммы эквивалентна аппроксимации данных с помощью гармонических функций.

Билет №10

1. Получить выражение для корреляционной функции оценки плотности спектра мощность. Обосновать несостоятельность оценки.

2. Метод Прони оценивания параметров затухающих комплексных синусоид.

Билет №11

1. Получить корреляционную функцию оценки плотности спектра мощности в аналитическом виде, исходя из ее интегрального представления. Обосновать несостоятельность оценки. Сделать выводы о корреляционных свойствах оценки ПСМ. Периодограммый метод получения состоятельной оценки ПСМ осреднением по ансамблю.

2. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Метод MUSIC и EV

Билет №12

1. Периодограммый метод получения состоятельной оценки плотности спектра мощности осреднением по частоте. Обосновать асимптотическую несмещенность и состоятельность этой оценки.

2. Эффект утечки. Способы борьбы с эффектом перетекания мощност.

Билет №13

1. Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2. Кепстр и его применение при обработке данных.

Билет №14.

1. Определение случайной функции. Свойства многомерных функций распределения. Примеры случайных процессов, допускающих полное статистическое описаниею

2. Понятие Би-спектра.

Билет №15

1. Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2. МТМ-метод.