Теорема о полной в Рk системе функций

Cистема функций {max(x₁,x₂), min(x₁,x₂), 0, 1, ..., k–1, J₀(x), J₁(x), ..., J_k-1(x)} является полной в Р_k и любая функция f(x₁, ..., x_n) P_k выражается формулой над этой системой следующим образом:

.

Эта формула есть своеобразный аналог СДНФ.

Доказательство. Покажем справедливость этой формулы на любом произвольном наборе (₁, ..., _n). Слева имеем f(₁, ..., _n). Справа имеем .

Если для какого-нибудь j из {1, 2, ..., n} i_j _j, то (_j) = 0 и min[J(₁), (₂), …, (_n), f(i₁,..,i_n)] = 0. Рассмотрим набор (i₁, ..., i_n), где i₁ = ₁, i₂ = _, ..., i_n = _n, тогда J(_) = k–1, J(_) = k–1, .., J(_n) = k–1 и min[J(_), ... , J(_n) f(₁, …, _n).] = min[(k–1), ..., (k–1), f(₁, …, _n).] = f(₁, …, _n), но тогда Так как набор (₁, ..., _n) произвольный и равенство на нем справедливо, то формула верна. В этой формуле использованы функции J_i(x), (i = 0, ..., k–1), min(x₁x₂), max(x₁x₂) и константы 0, ..., k–1, так как функция f(i₁, ..., i_n) есть число из {0, 1, ..., k–1}.

4. Логика высказываний

4.1. Введение в логику высказываний

Определение. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Примеры высказываний: «2х2=4», «Волга впадает в Черное море», «Москва – столица России». Первое и третье высказывания истинны, второе – ложно. В логике высказываний простые высказывания являются булевыми переменными, принимающими значения «истина» (и) или «ложь» (л). Переменной (и) соответствует 1, переменной (л) – 0. Для них стандартным образом определяются булевы функции: дизъюнкция высказываний, конъюнкция (два последних примера), отрицание, эквивалентность, сумма по mod 2 (исключающее «или»), импликация.

Простые высказывания (булевы переменные) будем обозначать буквами , если понадобится, с индексами. Булевы функции от этих высказываний – . В логике высказываний можно ввести стандартное для функций алгебры логики понятие формулы. Формулы будем обозначать буквами латинского алфавита где в скобках перечислены входящие в формулу булевы переменные.

Формула называется тавтологией, если она принимает значение 1 для любого набора значений входящих в нее переменных, т.е. если она реализует функцию константа 1.

Формула называется противоречием, если она принимает значение 0 на всех наборах значений переменных (реализует функцию константа 0).

Формула называется опровержимой, если существует набор значений , такой что

Формула называется выполнимой, если существует набор значений , такой что

С точки зрения логики тавтология – логический закон, так как при любой подстановке вместо переменных конкретных высказываний мы получаем истинное высказывание. Перечислим наиболее важные тавтологии (А, В, С – произвольные формулы):

1. т.е. Эта тавтология называется законом исключенного третьего или tertium nondatur.

2. 

3. – цепное рассуждение.

4. 

5. 

6. 

7. 

8. – закон Пирса.

Любую из этих тавтологий можно обосновать, составив таблицу истинности и показав, что соответствующая функция есть константа. К этому же результату можно прийти с помощью эквивалентных преобразований.

Докажем, что – тавтология.

При доказательстве различных утверждений мы пользуемся «рассуждениями».

Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение D, это записывается: , т.е. всякий раз, когда все посылки истинны, то заключение тоже истинно. Таким образом, чтобы установить правильность рассуждений, надо показать, что формула является тавтологией. Действительно, если какая-то из посылок ложна, то и импликация принимает значение 1. Если все посылки истинны и рассуждения верны, то заключение тоже должно быть верно и импликация вновь принимает значение 1.

Пример 1. Рассмотрим следующее «рассуждение»: «Если число 5 – простое, то оно нечетное. Число 5 – нечетное, следовательно, оно простое». Число 5 действительно простое, но сами рассуждения неверны. Введем обозначения для высказываний: х – «5 – число простое», y – «5 – число нечетное». Тогда посылками будут заключением будет х. Рассуждения шли по схеме Строим формулу для определения правильности рассуждения: Проверим,

На наборе х = 0, y = 1 формула принимает значение 0, следовательно, она не является тавтологией. Эта формула будет тавтологией, если х = y, т.е. простое число и нечетное число – эквивалентные понятия. «Здравый смысл подсказывает», что в этом случае, действительно, рассуждения верны.