Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

, s = 0, 1, ..., n. Доказательство. Любая функция из Р₂ может быть представлена формулой над {x₁ & x₂, x₁x₂, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f(x₁, ..., x_n) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2ⁿ. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x₁, ..., x_n }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

2.6. Замыкание и замкнутые классы

Определение 1. Пусть MР₂. Замыканием М называется множество всех функций из P₂, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [M].

Определение 2. Множество функций М называется замкнутым классом, если [M]=M.

Пример 1.

1) P₂ – замкнутый класс.

2) Множество {1,x₁x₂} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x₁ x₂}] = {f(x₁, ..., x_n) = c₀ c₁x₁ c_nx_n}. Действительно, по определению формулы над М, функция f(G₁, x₃), где f – есть сумма по модулю 2, G₁ – функция х₁ х₂, будет формулой над М: f(G₁, x₃) = (x₁ x₂) x₃.

Замечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:

М – полная система, если [M] = P₂.

3) A = {f(x₁, ..., x_n) f(1, 1, ..., 1) = 0} – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пусть f, g₁, ..., g_n A, т.е. f(1, 1, ..., 1) = 0, g₁(1, 1, ..., 1) = 0, тогда f(g₁, ..., g_n) [A]. Посмотрим, принадлежит ли функция f(g₁, ..., g_n) множеству А. f(g₁(1, ..., 1), g₂(1, ..., 1), ..., g_n(1, ..., 1) = f(0, ..., 0)), но f(0, ..., 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пусть g₁(x₁, x₂) = x₁ x₂, g₂(x) = x A. Возьмем g₂(g₁(x₁, x₂)) = x₁ x₂ [A], g₂(g₁(1, 1)) = 1 1 = 0, следовательно, g₂(g₁(x₁, x₂)) A, отсюда [A] A и А – незамкнутый класс.

Важнейшие замкнутые классы в р2

1) Т₀ - класс функций, сохраняющих константу 0.

Т₀ = { f(x₁, ..., x_n  f(0, ..., 0) = 0, n = 1, 2, ...}. Покажем, что Т₀ является собственным подмножеством Р₂, т.е. Т₀  и Т₀ Р (не совпадает с Р₂). Для этого достаточно привести примеры функций, входящих в Т₀, и примеры функций из Р₂, не входящих в Т₀: x₁&x₂, x₁x₂, xТ₀ и x₁|x₂, x₁x₂, Т₀. Покажем далее, что [Т₀] = Т₀. Вложение Т₀ [ Т₀] очевидно, так как по определению формулы любая функция из Т₀ является формулой над Т₀ и, следовательно, принадлежит [Т₀]. Покажем, что [Т₀] Т₀. Для этого надо показать, что Ф = f(f₁, ..., f_m) [ Т₀], если все функции f, f₁, f₂, f₃, ..., f_m  Т₀. Надо заметить, что в формуле в качестве функции f₁ могут быть взяты переменные, которые мы договорились считать тождественными функциями. Тождественная функция принадлежит классу Т₀, поэтому достаточно показать, что Ф = f (f ₁, ..., f_m)  Т₀. Для этого рассмотрим следующую функцию: Ф(0, ..., 0) = f (f ₁(0, ..., 0), f ₂(0, ..., 0), ...) = f(0, ..., 0) = 0.

Число функций, зависящих от n переменных и принадлежащих Т₀, будет равно

2) T₁ – класс функций, сохраняющих константу 1.

T₁ = {f(x₁, ...) f(1, 1, ...) = 1}; x₁&x₂, x₁x₂, xT₁, х₁х₂, x₁x₂T₁, следовательно Т₁ – собственное подмножество Р₂.

Покажем, что [T₁] T₁, обратное включение следует из определения формулы и замыкания. Так как тождественная функция входит в Т₁, можно рассмотреть Ф = f(f₁, ..., f_n) [T₁], где f, f₁, ..., f_n T₁. Найдем Ф(1, ..., 1) = f(f₁(1, ..., 1), ..., f_n(1, ..., 1)) = f(1, ..., 1) = 1, следовательно, Ф = f(f₁, ..., f_n) T₁, отсюда следует [T₁] = T₁.

3) S – класс самодвойственных функций.

S = {f(x₁, ...)f* = f }; x, , x₁x₂x₃S, x₁&x₂, x₁x₂, x₁x₂S, следовательно, S – собственное подмножество Р₂. |S(n)| = . Покажем, что [S]S. Ф = f(f₁, ..., f_n) [S], если f, f₁, ..., f_n S, а также, что Ф S. По принципу двойственности, Ф* = f*(f₁*, ..., f_n*) = f(f₁, ..., f_n) = Ф, отсюда S – замкнутый класс.

4) L – класс линейных функций.

L = {f(x₁, ...) f = c₀c₁x₁...c_nx_n}; очевидно, L , с другой стороны

L P₂, так как x₁&x₂ L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и |L(n)| = 2ⁿ⁺¹. Покажем, что [L] L. Рассмотрим Ф = f(f₁, ..., f_m), где f, f₁, ..., f_n L. Тогда Ф = а₀  а₁(с₁₀  с₁₁х₁ ... c_1nx_n1)  a₂(c₂₀  c₂₁x₁  c₂₂x₂...c_2nx_n2)...a_n(c_m0 c_m1x₁ ...  c_mnx_nm) = в₀ в₁х₁ ... в_nх_n  ФL.

5) М – класс монотонных функций.

Определение. Набор = (₁, ..., _n) предшествует набору = (₁, ..., _n) и обозначается , если для 1in _i_i, например: = (0010), = (0110), тогда . Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования () является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.

Определение. Функция f(x₁, ..., x_n) называется монотонной, если для двух наборов и , таких что , выполняется f()f(). Функции 0, 1, x, x₁&x₂, x₁x₂ M, x₁x₂, x₁ x₂, x₁ ~ x₂ M.

Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается. Покажем, что М замкнутый класс. Рассмотрим функцию Ф[M], Ф = f(f₁, ..., f_m), где f, f₁, ..., f_mM, причем можем считать, что все они зависят от n переменных. Пусть набор = ₁, ..., _n), = (₁, ..., _n). Рассмотрим Ф₁, ..., _n) = f(f₁₁, ..., _n), …, f_m₁, ..., _n)) и Ф(₁, ..., _n) = f(f₁(₁, ..., _n), ..., f_m(₁, ..., _n)). Здесь f₁() f₁(), ..., f_m() f_m(), тогда набор (f₁(), ..., f_m())(f₁(), ..., f_m()), но тогда Ф() Ф(), так как fM, отсюда Ф = f(f₁, ..., ) – монотонная функция.