Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, S, M.

Доказательство. Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = {f₁, f₂, ...f_s, ...} полна в Р₂, покажем, что тогда она не лежит целиком в Q, где через Q обозначим любой из классов T₀, T₁, L, S, M. Докажем от противного, пусть N Q, очевидно, [N] [Q] = Q, но [N] = P₂, т.к. N – полна в Р₂, отсюда Р₂=Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F = {f₀, f₁, f_L, f_m, f_s}, где f₀T₀, f₁T₁, f_LL, f_sS и f_mM. Покажем, что суперпозицией функций системы F можно получить полную систему G = {x₁&x₂, }.

1. Пусть g(x) = f₀(x, …, x). Тогда g(0) = f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g(1) = 1. Тогда g(x)  1. Функция h(x) = f₁(g(x), …, g(x)) = f₁(1, …, 1) = 0, т.е. h(x)  0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогда g(x) =. По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {f_s, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогда f₀(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {f_m, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {f_L, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р₂, не совпадающий с Р₂ содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T₀, T₁, L, S, M. Действительно, если N не является подмножеством Q, то [N] = P₂, что неверно.

Определение. Система функций {f₁, ..., f_s, ...} называется базисом в Р₂,если она полна в Р₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x₁&x₂, 0, 1, x₁x₂x₃} – базис.

Теорема о достаточности четырех функций.

Из любой полной в Р₂ системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.

Доказательство. Пусть {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S} – полная система функций, тогда она не лежит целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, M, S. Следовательно, в системе есть функции f₀T₀, f₁T₁, f_LL, f_SS и f_mM. Система {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S}  P₂ и образует полную систему в Р₂. Рассмотрим функцию f₀: f₀(0, ..., 0) = 1.

Если f₀(1, ..., 1) = 0, то f₀T₁ и f₀M, тогда {f₀, f_S, f_L} – полная система из трех функций.

Если f₀(1, ..., 1) = 1, то f₀S и {f₀, f₁, f_L, f_M } образует полную систему из четырех функций.

Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x₁x₂,0,1,x₁x₂x₃} нельзя выделить полную подсистему.

Следствие. Базис в Р₂ может состоять максимум из четырех функций.

2.7. Функции k - значной логики

Введем обозначение: E_к={0, 1, 2, ..., k–1}.

Функция k-значной логики, зависящая от n переменных, – это закон, отображающий. Множество функций k-значной логики обозначается как Р_k. Функция из Р_k полностью определена, если задана ее таблица истинности, т.е. заданы значения на всех наборах. Наборы можно рассматривать как записи в k-ичной системе счисления чисел от 0 до k–1, всего наборов kⁿ. Функций из Р_k, зависящих от n переменных, будет kⁿ. |P₃(n)|, например, будет 3, если n = 2, то |P₃(2)| = 3⁹ = 19683 (k=3, n=2).

x1 x2 . . . xn-1 xn	f
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 k–1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k–1 k–1 . . . k–1 k–1	. . . . . . .

В k - значной логике также есть функции, которые называются элементарными. Приведем некоторые из них, примеры будем приводить для k = 3 и n = 2.

1. Циклический сдвиг или отрицание Поста: = x+1(mod k).

2. Зеркальное отображение или отрицание Лукосевича: N_x = k–1–x.

Эти две функции являются обобщением отрицания.

3. J_i(x)=x = i, I = 0, 1, 2, ..., k–1}.

x1	x2	Nx	J0(x)	J1(x)	J2(x)
0 1 2	1 2 0	2 1 0	2 0 0	0 2 0	0 0 2

4. min(x₁,x₂) – обобщение конъюнкции;

5. x₁x₂(mod k) – второе обобщение конъюнкции;

6. max(x₁,x₂) – обобщение дизъюнкции;

7. x₁+x₂(mod k) – сумма по mod k.

x1	x2	min(x1,x2)	x1x2(mod 3)	max(x1x2)	x1+x2(mod 3)
0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1 2 0 1 2 0 1 2	0 0 0 0 1 1 0 1 2	0 0 0 0 1 2 0 2 1	0 1 2 1 1 2 2 2 2	0 1 2 1 2 0 2 0 1

Принято min(x₁,x₂) обозначать x₁&x₂, max(x₁,x₂) обозначать x₁x₂.

Как и в двузначной логике, можно ввести понятие формулы над множеством и ставить вопрос о полной в Р_k системе функций.