2.5. Полнота, примеры полных систем

Определение. Система функций {f₁, f₂, ..., f_s, ...}P₂ называется полной в Р₂, если любая функция f(x₁, ..., x_n) P₂ может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Полные системы

1. P₂ – полная система.

2. Система M={x₁&x₂, x₁x₂, } – полная система, т.к. любая функция алгебры логики может быть записана в виде формулы через эти функции.

Пример 1. Неполные системы: {}, {0,1}.

Лемма (достаточное условие полноты)

Пусть система U = {f₁, f₂, ..., f_s, ...} полна в Р₂. Пусть B = {g₁, g₂, ..., g_k, ...} – некоторая система из Р₂, причем любая функция f_i U может быть выражена формулой над B, тогда система B полна в Р₂.

Доказательство. Пусть h(x₁, ..., x_n) P₂, т.к. U полна в Р₂, то h(x₁, ..., x_n) = =N[f₁, ..., f_s, ...] = N[L₁[g₁, ..., g_k], ..., L_s[g₁, ..., g_k], ...] = U[g₁, ..., g_k]. Здесь мы воспользовались тем, что для любого i n f_i может быть выражена формулой над B, поэтому f_i=L_i[g_i, ..., g_k].

3. Система {x₁x₂, } – полна в P₂.

Возьмем в качестве полной в Р₂ системы U={x₁x₂, , x₁&x₂}, B={x₁x₂, }. Надо показать, что x₁&x₂ представляется формулой над B. Действительно, по правилу Де Моргана получим: x₁&x₂=.

С помощью этой леммы докажем полноту еще ряда систем.

4. Система {x₁&x₂, } – полна в Р₂.

5. Система {x₁|x₂} полна в Р₂. Для доказательства возьмем в качестве полной в Р₂ системы U = {x₁&x₂, } и выразим х₁&х₂ и через х₁|x₂ :

= x₁ | x₁, x₁ & x₂ == (x₁|x₂)|(x₁|x₂).

6. Система {x₁x₂} полна в Р₂. U = {x₁x₂, }, = x₁x₁, x₁x₂ = = (x₁x₂) (x₁x₂).

7. Система {x₁&x₂, x₁x₂, 0, 1}, U = {x₁&x₂, }, = x₁1.

Следствие. Полином Жегалкина.

f(x₁, ..., x_n) P₂, представим ее в виде формулы через конъюнкцию и сумму по модулю два, используя числа 0 и 1. Это можно сделать, так как {x₁&x₂, x₁x₂, 0, 1} полна в Р₂. В силу свойства x & (yz) = xy xz можно раскрыть все скобки, привести подобные члены, и получится полином от n переменных, состоящий из членов вида хх...х, соединенных знаком . Такой полином называется полиномом Жегалкина.

Общий вид полинома Жегалкина:

где , s = 0, 1, ..., n, причем при s = 0 получаем свободный член а₀.

Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над {x₁&x₂,} и сделаем замену =x1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 2. (x₁(x₂x₃))(x₁ x₂) x₃ = (x₁ x₂ x₃)(x₁ x₂) x₃ = (x₁x₂ x₁x₃ x₁x₂ x₂ x₂x₃)x₃ = (x₁x₃ x₂)x₃ = x₁x₃x₂ x₃ = ((x₁x₃1)x₂1)x₃ = x₁x₂x₃x₂x₃x₃.

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x₁, x₂, x₃) = (01101001) = а₀ а₁х₁ а₂х₂ а₃х₃ b₁x₁x₂ b₂x₂x₃  b₃x₁x₃  cx₁x₂x₃. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а₀, отсюда а₀ = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а₀ а₃, т.к. а₀ = 0, отсюда а₃ = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а₂, f(0, 1, 1) = 0 = а₂ а₃ b₂ = b₂ = 0; а₁ = 1; 0 = а₁ а₃ b₃ = b₃ = 0; 0 = а₁  а₂ b₁ = b₁ = 0; 1 = 1 1 1 c; c = 0; f(x₁, x₂, x₃) = x₁ x₂ x₃.