Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.

x1 x2	f=х1х2	f*	g=x1|x2	g*=x1x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 0 0 0

Теорема о двойственных функциях

Если f* двойственна к f, то f двойственна к f*.

Доказательство. f*(x₁, ..., x_n) = (₁, ..., _n). Найдем двойственную функцию к f*, т.е. (f*( x₁, ..., x_n))* = ((₁, ..., _n))* = (₁, ..., _n) = f(x₁, .., x_n).

Предположим, что функция задана формулой. Можно ли найти по этой формуле двойственную функцию? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Принцип двойственности

Теорема: Пусть функция h(x₁, ..., x_n) реализована формулой h(x₁, ..., x_n) = =g(G₁, ..., G_m) = g(f₁(x₁, ..., x_n), ..., f_m(x₁, ..., x_n)), где какие-то переменные могут быть фиктивными. Тогда h*( x₁, ..., x_n) = g*(f₁*( x₁, ..., x_n), ..., f_m*(x₁, …, x_n)), это означает, что если функция задана некоторой формулой, то чтобы получить двойственную функцию, надо в этой формуле все знаки функций заменить на двойственные, 0 на 1, 1 на 0.

Доказательство. h*(x₁, ..., x_n) = (₁, ..., _n) = (f₁(₁, ..., _n), ..., f_m(₁, ..., _n)) = __ .. _n . _ . _n  g ..   g*(f₁*( x₁, ..., x_n), ..., f_m*( x₁, ..., x_n)), что и требовалось доказать.

Если функция h(x₁, ..., x_n) реализуется формулой N[f₁, ..., f_n], то формулу, полученную из N заменой f_i, входящих в нее, на f_i* и реализующую функцию h*(x₁, ..., x_n), будем называть двойственной и обозначать N*(x₁, ..., x_n).

Пример 4. Построить формулу, реализующую f*, если f = ((xy)  z) (y(xyz)). Покажем, что она эквивалентна формуле N = z(xy).

Найдем (xy)* и (xy)*.

x y	xy	(xy)*	x y	(x y)*
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 0	1 0 0 1	1 1 0 1	0 1 0 0

Из таблиц видно, что

(xy)* = x ~ y = = xy1, xy =yx,

(xy)* =y xy =y.

По принципу двойственности:

f* = yz((x(yz)1)) = yzz(x(yz)1) = z(y(xz)) = z(y(xz1)) = z(y(x)) = zy(zxz) = z(yx) = z(xy).

Тогда f = (f*)* = [z(xy)]* = z(x~y).

Пример 5. Найти формулу для f* и показать, что она эквивалентна формуле N = (x(zt)), если f = (xyz~(tx))t.

f* = ((xyz)t(y))(t) = (t(y)(xyz))(t) =

= (t(xyz)(x))(t) = t(xyz)(xtx) =

= t(xyz)(x) = (xtzxxz) =(txzxz)

= (x(zt)).

Лемма о несамодвойственной функции

Подстановкой функций и в несамодвойственную функцию можно получить одну из констант.

Доказательство. Пусть – несамодвойственная функция. Тогда существует набор , для которого . Построим функцию , заменив единицы в на , а нули – на. Так как , то . Заметим, что .

Тогда , т.е. . Следовательно, функция есть одна из констант.

Теорема о разложении функции по переменным

Пусть f(x₁, ..., x_n) P₂. Тогда для любого m: 1 ≤ m ≤ n допустимо представление:

f(x₁, ..., x_m, x_m+1, ..., x_n) = ,

где дизъюнкция берется по всем наборам из 0 и 1, которое называется разложением функции f по переменным x₁, ..., x_n.

Прежде чем доказать утверждение, рассмотрим примеры.

Пример 1. m = 1, запишем разложение по переменным х:

f(x₁, ..., x_n) = = f(0, x₂ , …,x_n)x₁f(1, x₂, ..., x_n). (1)

Пример 2. m=2, запишем разложение по переменным х и :

f(x₁,x₂,…x_n) = =

.

Если f(x_, x_) = x_x_, то последняя формула дает x_x_= x_x_.

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор _,,_n) и покажем, что левая и правая части формулы (1) принимают на этом наборе одинаковые значения. Слева имеем f_ ._n. Cправа : .

Дизъюнкция берется по всевозможным наборам (_, ..., _m). Если в этих наборах хотя бы одно _i  _i (1≤i≤m), то = 0 и , следовательно, ненулевой член будет только на наборе (_, ..., _m) = (_, ..., _m), тогда f_ ._n.

Следствие 1. Любую функцию f(x₁, ..., x_n) не равную тождественно нулю можно представить в виде: , причём единственным образом. Этот вид называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции f(x₁, ..., x_n) и записывается СДНФ.

Доказательство. Существование СДНФ для функции не равной тождественно нулю вытекает из предыдущей теоремы. Покажем, что эта СДНФ единственная. В самом деле, имеется n-местных функций, не равных нулю тождественно. Подсчитаем число различных СДНФ от n переменных. Путь означает число сочетаний из n элементов по k. Тогда число одночленных СДНФ равно . Число k-членных СДНФ равно . Число n-членных СДНФ равно . Число всех различных СДНФ

Итак, функций реализуются посредством СДНФ, т.е. каждой функции соответствует единственная СДНФ.

Замечание. – элементарная конъюнкция ранга n по числу входящих переменных, предполагается, что при i  j , х_i  х_j. СДНФ для f(x₁, ..., x_n) –дизъюнкция элементарных конъюнкций ранга n. Если функция представлена в виде дизъюнкций элементарных конъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной конъюнкции меньше n, то такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Cледствие 2. Любая функция алгебры логики может быть представлена в виде формулы через отрицание, & и .

а) Если f ≡ 0, то f(x₁, ..., x_n) = &.

б) Если f(x₁, ..., x_n)  0 тождественно, тогда ее можно представить в виде СДНФ, где используются только связки , &, . СДНФ дает алгоритм представления функции в виде формулы через &, , .

Следствие 3. Мы умеем представлять функцию в виде . Нельзя ли представить ее в виде . Пусть функция f(x₁, ..., x_n) 1 тождественно. Тогда функция f* 0 тождественно, и ее можно представить в виде СДНФ:

.

По принципу двойственности заменим & на и наоборот, получим

(2)

называется элементарной дизъюнкцией ранга n. Представление функции в виде (2) называется совершенной конъюнктивной нормальной формой или в краткой записи – СКНФ. СКНФ для f(x₁, ..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций ранга n. КНФ для f(x₁, ..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной дизъюнкции меньше n.

Пример 4. Пусть f(x₁, x₂, x₃) = x₁ (x₂(x₃ ~ x₁)). Представим ее в виде СКНФ, для этого получим таблицу истинности.

x1	x2	x3	x3~x1	x2 (x3~x1)	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 1 0 0 1 0 1	1 1 1 0 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому

f(x₁ x₂ x₃)=x₁x₂x₃ =x₁⁰x₂⁰x₃¹= x₃.