Теорема о замене подформул на эквивалентные

Пусть N<M> и имеет вид: N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ...G_i, ...,G_m). Пусть подформула G_i~G_i, тогда формула N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ...,G_i,...,G_m) эквивалентна формуле N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ..., G_i, ...,G_m).

Доказательство. Формулы N и N эквивалентны, если реализуют одну и ту же функцию. Согласно построению функции, реализующей формулу имеем:

N(x₁, ..., x_n) = g(f₁(x₁, ..., x_n ), ..., f_i(x₁, ..., x_n), ..., f_m(x₁, ..., x_n)),

N (x₁, ..., x_n)= g(f₁ (x₁, ..., x_n ), ..., f_i(x₁, ..., x_n), ..., f_m (x₁, ..., x_n)).

По условию G_i~G_i, следовательно на наборе ₁, ..., _n) имеем f_i ₁, ..., _n) = = f_i₁, ..., _n) следовательно, на любом наборе ₁, ..., _n)значения функции g(f₁, ...,f_i, ...,f_m) и g(f₁, ...,f_i, ...,f_m) совпадают. Получим N~N.

Некоторые свойства элементарных функций

1. Идемпотентность & и : х&x=x , xx=x.

2. Коммутативность &,,,|,~,.

3. Ассоциативность &,,,~, поэтому в формулах вида xyz можно не ставить никаких скобок.

4. Дистрибутивность:

а) & по отношению к : x&(yz)=xyxz ,

б) по отношению к &: x(y&z)=(xy)&(xz) ,

в) & по отношению к : x(yz)=xyxz .

5. Инволюция : =х .

6. Правило де Моргана: =& и = .

7. Законы действия с 0 и 1:

x0=x , x1=1 , x=1 , x&0=0 , x&1=x , x&=0 , x1= , x0=x.

8. Самодистрибутивность импликации: x(yz)=(xy)(xz).

Равенство всех этих формул доказывается по определению, т.е. по равенству функций, которые они реализуют.

Проверим для примера самодистрибутивность импликации : x(yz)=(xy)(xz).

x	y	z	yz	x(yz)	xy	xz
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 1 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1	1 1 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

2.3 Принцип двойственности

Определение 1. Функции f*(x₁, ..., x_n) называется двойственной к функции f(x₁, ..., x_n), если f*(x₁, ..., x_n) = (₁, ..., _n).

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f*
0 1	0 0	1 1

Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:

x	f	f*	g	g*
0 1	0 1	0 1	1 0	1 0

так как f*(0)=(1).

Определение 2. Если f*(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n), то f(x₁, ..., x_n) называется самодвойственной.

Пример 2. Покажем, что f(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂x₃ – самодвойственна:

x1	x2	x3	f	f*
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

Если f*– самодвойственна, то (₁, ..., _n) = f(x₁, ..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.