30.Измеримые ф-ции и их св-ва
Говорят, что
последовательность функций
,
заданных на множестве
равномерно сходится к
,
если
.
В этом случае
пишут:
.
Будем говорить,
что последовательность функций
поточечно
сходится к функции
,
если
.
В этом случае
пишут:
.
Определение.
Функция
,
определенная на множестве
,
называется измеримой, если существует
последовательность
ступенчатых функций, которая равномерно
сходится к
на множестве
.
Совокупность всех
измеримых функций будем обозначать
.
Свойства измеримых функций.
1. Произведение любого числа на измеримую функцию есть измеримая функция, т.е.
.
Действительно,
т.к.
.
Умножим обе части соотношения на
,
получим
.
По свойству 1 ступенчатых функций
.
2.
Сумма двух измеримых функций является
измеримой функцией, т.е.
.
Действительно,
т.к.
,
то
Суммируя эти соотношения, получаем:
.
По свойству 2
ступенчатых функций
.
3. Линейная комбинация измеримых функций является измеримой функцией, т.е.
.
Доказательство следует из свойств 1 и 2.
Это свойство
значит, что совокупность всех измеримых
функций образует векторное (линейное)
пространство над полем
.
4. Произведение измеримых функций является измеримой функцией, т.е.
5.
Если
,
то модуль измеримой функции является
измеримой функцией, т.е.
.
Действительно,
Определение.
Пусть функция
определим
множество
-
Лебеговское множество.
Замечание. Любая непрерывная ф-ция явл измеримой.
31.
32.
33.
34. Сходимость почти всюду. Канторово мн-во.
Определение.
Будем говорить, что некоторое свойство
выполняется почти всюду на множестве
,
если
свойство
выполняется. Пример.
,
так как в качестве
,
,
если
.
Определение.
Функции
называются эквивалентными, если они
почти всюду равны, то есть
.
Определение.
Последовательность
,
если
.
Теорема (о
сходящейся почти всюду последовательности
измеримых функций). Если
последовательность измеримых функций
,
то функция
измерима.
Для канонической меры: мера любого канонического множества (т.е. точки) равна 0.
Замечание.
Пусть
счетное мн-во. Тогда
мера всех рациональных точек на
прямой будет также равна 0, т.е. (Q)=0,
т.к. Q-счетное
мн-во.
Рассмотрим Канторово мн-во.
Выбрасываем середину. Имеем [0;1/3]U[2/3;1] . Каждый из [0;1/3] и [2/3;1] делим на 3 части и выбрасываем середину. Получаем 4 отрезка и т.д.
Получили в итоге
замкнутое
ограниченное мн-во. Оно явл-ся компактом.
И наз-ся канторовым мн-вом.
Посчитаем меру канторового мн-ва. Для этого посчитаем меру выброшенных интегралов.
Следовательно из отрезка [0;1] длиной 1-0=1 выбросили сумму длин интервалов длиной 1.
По св-ву аддитивности ([0;1])=(M)=(K)(K)=0