Вариант 7
1. Сколько чисел, заключающихся между 1000 и 9999, содержат цифру 3?
2. Из коробки, содержащей 14 разноцветных карандашей, в том числе 2 жёлтых и 2 фиолетовых, наудачу вынимается карандаш. Найти вероятность того, что этот карандаш не будет ни жёлтым, ни фиолетовым.
3. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсменов соответственно равны 0,8, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из спортсменов попадёт в сборную.
4. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 1% бракованных, со второго автомата 2%, с третьего 2%, с четвёртого 3%. Производительности автоматов относятся, как 4 : 3 : 2 : 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что её изготовил четвёртый автомат.
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
5 |
3 |
1 |
2 |
5 |
6 |
|
рi |
0,1 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,15 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 5; МY
= 4; DX = 3; DY
= 4.
7. Предполагая, что дальность полета снаряда распределена по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением 40 м, найти вероятность того, что снаряд даст перелет от 60 до 80 м, если известно, что прицеливание систематических ошибок не имеет.
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 31-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,9.
Вариант 8
1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с цифры пять?
2. В круг вписан равносторонний треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри треугольника.
3. При изготовлении детали заготовка должна пройти три операции обработки. Вероятность брака в первой операции равна 0,02, во второй 0,03, в третьей 0,01. Найти вероятность изготовления стандартной детали, считая появление брака в каждой операции независимыми событиями.
4. Одинаковые детали изготовляются на трёх станках: 25% на первом, 30% на втором и 45% на третьем. В продукции станков брак составляет соответственно 3%, 2%, 1%. Какова вероятность, что случайно взятая деталь окажется стандартной?
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
6 |
3 |
0 |
1 |
4 |
5 |
|
рi |
0,1 |
0,05 |
0,35 |
0,25 |
0,2 |
0,05 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 7; МY
= 8; DX = 3; DY
= 2.
7. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (4; 16), равна 0,8664. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 36-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,95.