Вариант 1
1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел чётных?
2. Из ящика, в котором 10 белых и 6 чёрных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два чёрных?
3. В партии из 20 деталей имеется две бракованные. Сборщик взял из партии 3 детали. Найти вероятность того, что среди них не более одной бракованной.
4. Сборщик получает 30% деталей завода № 1, 25% завода № 2 и 45% завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,7, для завода № 2 0,9, для завода № 3 0,8. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она изготовлена заводом № 2?
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
3 |
2 |
0 |
4 |
5 |
10 |
|
рi |
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 4; МY
= 3; DX = 3; DY
= 4.
7. Деталь считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Найти вероятность изготовления годной детали.
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 1-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,98.
Вариант 2
1. В забеге участвуют 5 мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?
2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.
3. Вероятность того, что электрическая лампочка, принадлежащая данной партии, проработает гарантийный срок, равна 0,8. Какова вероятность того, что из трёх лампочек этой партии гарантийный срок проработает только одна?
4. Приборы одного наименования изготавливаются тремя заводами: первый поставляет 35% всех приборов, второй – 40% и третий 25%. Вероятность безотказной работы прибора в течение гарантийного срока равна 0,9 для первого завода, 0,85 для второго и 0,9 для третьего. Наудачу взятый прибор выдержал гарантийный срок. Найти вероятность того, что он изготовлен на первом заводе.
5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:
|
хi |
4 |
1 |
0 |
3 |
5 |
7 |
|
рi |
0,15 |
0,1 |
0,25 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.
6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
,
если известны математические ожидания
и дисперсия случайных величин Х и
Y: МХ = 4; МY
= 3; DX = 2; DY
= 5.
7. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна т = 40 см и среднее квадратическое отклонение = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
8. В таблице П. 3.2 (приложение 3) приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 6-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.
9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.
10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,99.