Практическая работа № 1. Расчёт процессов охлаждения методом сеток

Цель работы: изучить использование метода сеток для расчёта процессов охлаждения.

Задачи:

1. Рассчитать теплофизические характеристики (коэффициент температуропроводности) заданного объекта.

2. Выбрать число разбиений полутолщины объекта, рассчитать шаг по оси координаты и шаг по оси времени.

3. Провести моделирование процесса охлаждения методом сеток с использованием граничных условий первого рода.

4. Исходя из проведённого моделирования, определить продолжительность достижения требуемой температуры.

5. Построить график распределения температуры по толщине для момента окончания процесса.

Метод сеток (метод конечных разностей) основан на приближённой замене производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. На основе ряда преобразований из дифференциального уравнения вида

(1)

получить систему алгебраических уравнений вида

(2)

где – температуры в соседних точках (см. рисунок 1).

Р – целое число (от 2 до 6), характеризующее соотношение между шагом по оси координаты (h) и шагом по оси времени (l).

Рисунок 1 – Иллюстрация к расчёту по методу сеток.

Шаг по оси координаты определяют путём деления полутолщины на число разбиений (чем больше число разбиений и меньше шаг, тем ближе приближённое значение производной к точному значению и тем выше точность расчёта).

Для цилиндра (P=3) применяется расчётная формула (3).

, (3)

где n – число отрезков, на которое разбита полутолщина продукта.

При заполнении сетки учитывают, что значение температуры в каждой ячейке сетки относилось к узлу сетки, т.е. к левой нижней точке ячейки (см. [4], ПР № 14). При этом ширина сетки должна составлять то же количество ячеек, что и число разбиений полутолщины n (плюс одна ячейка, характеризующая поверхность тела). Крайняя левая ячейка соответствует центру продукта.

В нижних ячейках сетки указывают начальные условия (начальную температуру), в крайне правых – граничные условия (при использовании граничных условий первого рода, как правило, используют допущение о равенстве температуры поверхности продукта и среды, т.е. указывают значение температуры среды для каждого момента времени). Сетку заполняют снизу вверх, используя формулы (2) или (3) в каждой ячейке. Для заполнения центральной ячейки следует помнить, что «левее» находится симметричная следующей за центральной ячейка, т.е. ячейка, имеющая температуру .

Окончание расчёта выбирают исходя из достижения конечной температуры. Если задана конечная температура в центре, то её можно определить непосредственно из сетки. Среднеобъёмную температуру пластины определяют как среднеарифметическое всех ячеек в данный момент времени. Среднеобъёмную температуру цилиндра определяют по формуле (4).

(4)

Продолжительность процесса можно определить путём умножения числа «строк» сетки на шаг по оси времени l

(5)

где a – коэффициент температуропроводности, м²/с.

В конце работы строят график распределения температуры по толщине объекта в конечный момент времени.

Варианты заданий для практической работы № 1 приведены в Приложении 1.

Литература: [9], c. 11-16; [8] , с. 134-141; [11], c. 66-71; [1], с. 185, [4]

Вопросы для самопроверки

1. Какого рода граничные условия Вы использовали при расчете методом сеток?

2. Какие процессы можно рассчитать методом сеток?

3. Условия сходимости расчета методом сеток.

4. На чём основан метод сеток?

5. Возможно ли использование граничных условий 3 рода в методе сеток?