1.2. Дифференцирование

С помощью MathCAD можно вычислить производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. Функции и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцировать функции только вблизи точек их сингулярности (перегиба).

Вычислительный процессор обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования.

Первая производная. Для того чтобы продифференцировать функцию f(x) в некоторой точке достаточно:

1. Определить точку х, в которой будет вычислена производная, например, x:=1.

2. Ввести оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на палитре Calculus (Исчисление) или ввести с клавиатуры вопросительный знак.

3. В появившихся местозаполнителях ввести функцию, зависящую от аргумента х, т.е. f(x), и имя самого аргумента х.

4. Ввести оператор численного или символьного вывода и получить ответ.

Задание 4. Используя операторы численного и символьного дифференцирования, получите следующие результаты:

Сохраните результаты в текущем документе.

Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до7-8-го знака после запятой.

Производные высших порядков. MathCAD позволяет численно определить производные высших порядков, от нулевого до пятого включительно. Чтобы вычислить производную функции f(x) n-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые операции, что и при взятии первой производной, используя на палитре Calculus (Исчисление) команду Nth Derivative (Производная n-го порядка).

Задание 5. Вычислите вторую производную функции, используя численный и символический метод.

Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить несколько раз оператор n-й производной подобно тому, как вводились операторы кратного интегрирования. Символьный процессор умеет считать производные порядка выше 5-го. Например:

Сохраните изменения в текущем документе.

Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Для вычисления частных производных используются те же команды, что и для обычных производных.

Задание 6. Откройте новый документ и определите частные производные функции численным и символьным методом, выполнив следующие операции:

Сохраните документ в своей папке, используя короткое имя.

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.

Задание 7. Откройте новый документ и вычислите вторую частную производную функции, выполнив следующие операции:

1. Запишите пользовательскую функцию:

2. Вызовите оператор производной n-го порядка. Запишите оператор дифференцирования в форме частной производной, выполнив следующие шаги:

• вызовите контекстное меню, щелкнув правой кнопкой в области оператора;

• в контекстном меню выберите пункт View Derivative As (Показать производную);

• в появившемся меню выберите пункт Partial Derivative (Частная производная).

Вычислите вторую частную производную символьным методом:

4. Введите значения для переменных и получите значения второй частной производной численным методом:

5. Сохраните документ в своей папке.

6. Убедитесь, что упрощение выражения для частной производной, полученной символьным методом при тех же значениях переменных, дает такой же численный результат.