- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
1.4. Пример выполнения работы
Найти решение методом Гаусса системы , где
Выполняем расчеты с помощью МК.
-
Сначала выбираем максимальный по модулю элемент среди элементов первого столбца матрицы A. Он равен 8,30 и находится в первом уравнении. Поэтому нет необходимости в перестановке строк.
-
Заносим коэффициенты системы в первые 4 строки бланка расчета в столбцах, отмеченных буквами (табл. 1.2).
-
Суммируем элементы в каждой строке и записываем сумму в последний, контрольный столбец, обозначенный .
-
Заполняем далее столбец (m – номер уравнения, m=2,3,4). Во второй – четвертой строках этого столбца записываем числа, которые вычисляются по формулам (1.5):
Первые 4 строки бланка заполнены полностью (табл. 1.2).
-
Для получения следующих трех строк применим формулы (1.6). Так элементы первой из этих строк будут равны
Для выполнения контроля суммируем элементы этой строки (кроме последнего). Получаем
2,311253 + 0,598314 + 6,484097 – 5,644710 = 3,754254.
Сравниваем этот результат с . Отличие наблюдается лишь в последнем десятичном знаке, значит наши вычисления верны. Аналогично находим и контролируем элементы остальных строк. Первый цикл закончен. Для выполнения второго цикла необходимо выбрать новую ведущую строку по коэффициентам при . Это будет уже вторая строка (). Переставляем ее на место первой и повторяем уже проделанные расчеты; и так до окончания прямого хода.
Таблица 1.2
Расчетный бланк метода Гаусса
Номер Цикла |
m |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
1 2 3 4 |
0,266265 0,472289 0,454217 |
8,30 2,21 3,92 3,77 |
3,12 3,15 8,45 7,71 |
4,10 1,69 7,28 8,04 |
1,90 6,99 2,46 2,28 |
– 10,15 – 8,35 12,21 14,95 |
7,27 5,69 34,32 36,75 |
Конеццикла |
2 3 4 |
|
0 0 0 |
2,319253 6,976458 6,292844 |
0,598314 5,343615 6,177711 |
6,484097 1,562651 1,416988 |
– 5,647410 17,003734 19,560300 |
3,754254 30,886458 33,447843 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=2 |
2 3 4 |
0,332440 0,902011 |
0 0 0 |
6,976458 2,319253 6,292844 |
5,343615 0,598314 6,177711 |
1,562651 6,484097 1,416988 |
17,003734 – 5,647410 19,560300 |
30,886458 3,754254 33,447843 |
Конеццикла |
3 4 |
|
0 0 |
0 0 |
– 1,178117 1,357711 |
5,964609 0,007460 |
– 11,300129 4,222742 |
– 6,513637 5,587913 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=3 |
3 4 |
– 0,867723 |
0 0 |
0 0 |
1,357711 – 1,178117 |
0,007460 5,964609 |
4,222742 – 11,300129 |
5,587913 – 6,513637 |
Конеццикла |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
5,971082 |
– 7,635959 |
– 1,664877 |
6. После этого выполняем обратный ход метода Гаусса. Находим неизвестные:
7. Выписываем полученное решение:
8. Так как в ходе решения вычисления выполнялись с округлением, то полученные значения неизвестных являются неточными. Поэтому для контроля расчета вычислим невязки, представляющие собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы:
Так как матрица системы хорошо обусловлена (во всех вариантах это условие выполняется) и невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно.
9. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab1.mcd. Вводим столбец свободных элементов и матрицу системы уравнений:
С помощью встроенной функции (см. п. 6.4) пакета Mathcad для нахождения решения определенных систем линейных уравнений находим «точное решение»
.
10. Выписываем полученное на компьютере решение
и вычисляем абсолютные погрешности, с какими найдены неизвестные в приближенном решении:
т. е. все погрешности меньше и решение найдено достаточно точно.
11. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.